基数平衡多伯努利滤波器（CB-MBM）：基于约束优化的多目标数量与存在概率联合估计方法

一、CB-MBM 滤波器的起源与核心定位

（一）背景

在多目标跟踪领域，传统多伯努利滤波器（MBM）基于多伯努利分布建模目标集，通过独立处理每个目标的存在概率，实现了计算效率与跟踪性能的平衡。然而，MBM 存在一个关键缺陷：基数估计偏差—— 当目标密集出现、高漏检或高虚警时，目标数的后验分布易出现 “高估” 或 “低估”（例如，实际存在 2 个目标时，估计分布可能在 n=1 和 n=3 处出现不合理峰值）。 为解决这一问题，基数平衡多目标多伯努利滤波器（Cardinality-Balanced Multi-Bernoulli Filter, CB-MBM） 应运而生。它通过引入基数平衡约束，在多伯努利框架下强制优化目标数的概率质量函数，确保基数分布的合理性，同时保持线性计算复杂度，适用于实时性要求高的中等密集场景（如机器人集群导航、智能安防监控）。

（二）核心定位

CB-MBM 是 MBM 的改进型，核心是在多伯努利分布中嵌入基数平衡机制，其核心特征包括：

1. 基数无偏性：通过拉格朗日优化强制基数分布满足一阶矩（期望）与二阶矩（方差）的物理约束，避免极端偏差；
2. 计算高效性：继承 MBM 的线性复杂度（O (M)，M 为目标假设数），通过平衡参数动态调整约束强度；
3. 场景适配性：在目标频繁生灭、检测噪声较大的场景中，显著提升基数估计精度（如无人机编队快速重组、交通路口多车交汇）。

二、CB-MBM 理论基础：从多伯努利到基数平衡

1. 多伯努利分布与基数缺陷

核心要素

• 多伯努利目标集：目标集 X = { x 1 , x 2 , … , x M } \mathcal{X} = \{x_1, x_2, \dots, x_M\} X={x1​,x2​,…,xM​} 由 M 个独立伯努利目标组成，每个目标 $x_i$ 的存在概率为 $r_i$，状态分布为 $f_i(x)$；
• 基数分布：目标数 N 的概率质量函数为： P ( N = n ) = ∑ K ⊆ { 1 , … , M } , ∣ K ∣ = n ∏ i ∈ K r i ∏ j ∉ K ( 1 − r j ) P(N=n) = \sum_{\mathcal{K} \subseteq \{1,\dots,M\}, \, |\mathcal{K}|=n} \prod_{i \in \mathcal{K}} r_i \prod_{j \notin \mathcal{K}} (1-r_j) P(N=n)=∑K⊆{1,…,M},∣K∣=n​∏i∈K​ri​∏j∈/K​(1−rj​)其期望为 $\lambda ={\sum }_{i=1}^M{r}_i$，方差为 $\text{Var}[N]={\sum }_{i=1}^M{r}_i(1-r_i)$。

基数偏差问题

传统 MBM 未显式约束基数分布的合理性，导致：

• 当目标高度重叠（如检测概率 $r_i$ 相近）时，$P(N=n)$ 出现多峰分布，与实际场景矛盾；
• 漏检率高时，低估目标数；虚警率高时，高估目标数。

2. 基数平衡机制定义

平衡目标函数

CB-MBM 引入基数平衡约束，通过最小化后验基数分布与先验物理约束的 KL 散度，强制基数合理性：

${\min }_{P(N=n)}KL\left(P(N)\Vert Q(N)\right)+\lambda {\left(\mathbb{E}[N]-{\lambda }_0\right)}^2+\mu {\left(\text{Var}[N]-{\sigma }_0^2\right)}^2$

其中：

• $Q(N)$ 为基于场景先验的基数分布（如泊松分布）；
• ${\lambda }_0$ 和 ${\sigma }_0^2$ 为期望和方差的约束阈值；
• $\lambda ,\mu$ 为拉格朗日乘数，控制约束强度。

与 MBM 的关键区别

特性	传统 MBM	CB-MBM
基数建模	独立伯努利组合	带约束的伯努利组合（平衡基数）
基数偏差	可能显著	强制满足期望 / 方差约束
计算复杂度	O(M)	O (M)（仅增加常数项约束计算）
密集场景适应性	中等（易出现多峰）	高（基数分布更紧凑合理）
核心创新	无显式基数约束	拉格朗日乘数法平衡基数分布

三、CB-MBM 三阶段算法：平衡约束下的递推框架

1. 预测阶段：基数先验外推

（1）目标生灭动态建模

• 存活目标：每个存活目标 $x_i$ 以概率 $p_{s,i}$ 存活，存在概率更新为：$r_i^{\prime }=p_{s,i}\cdot r_{i,k-1}$状态通过动力学模型外推（如匀速模型 $x_k=F{x}_{k-1}+w$，其中 $w\sim \mathcal{N}(0,Q)$）；
• 新生目标：新生目标集为独立伯努利分布，每个新生目标 $x_{b,j}$ 的存在概率为 $r_{b,j}$，状态分布为 $f_{b,j}(x)$；
• 预测基数先验：合并存活与新生目标，计算预测基数期望：${\lambda }^{-}={\sum }_i{r}_i^{\prime }+{\sum }_j{r}_{b,j}$方差先验为：${\sigma }^{-2}={\sum }_i{r}_i^{\prime }(1-r_i^{\prime })+{\sum }_j{r}_{b,j}(1-r_{b,j})$

（2）平衡约束初始化

根据场景先验（如历史统计的目标数范围），设定基数期望约束 ${\lambda }_0={\lambda }^{-}$，方差约束 ${\sigma }_0^2={\sigma }^{-2}$。

2. 似然计算阶段：观测关联与权重调整

（1）观测模型

对于观测集 Z k = { z 1 , z 2 , … , z m } Z_k = \{z_1, z_2, \dots, z_m\} Zk​={z1​,z2​,…,zm​}，单目标 $x_i$ 对观测 $z_k$ 的似然为：

$g_i(z_k)=p_{d,i}\cdot f(z_k|x_i)+(1-p_{d,i})\cdot c(z_k)$

其中：

• $p_{d,i}$ 为目标 $x_i$ 的检测概率；
• $f(z_k|x_i)$ 为观测概率密度（如高斯分布 $\mathcal{N}(z_k;H{x}_i,R)$）；
• $c(z_k)={\lambda }_c\cdot c_0(z_k)$ 为杂波分布（${\lambda }_c$ 为杂波密度，$c_0(z_k)$ 为均匀分布）。

（2）平衡权重修正

针对高冲突关联（如多个目标匹配同一观测），引入平衡因子 $\beta \in [0,1]$ 压制冲突权重：

$w_i^{\prime }=w_i\cdot \left(1-\beta \cdot \frac{C_i}{{\sum }_j{C}_j}\right),w_i=r_i^{-}\cdot g_i(z_k)$

其中 $C_i$ 为目标 $x_i$ 与其他目标的观测冲突次数（如匹配同一观测时 $C_i$ 增加）。

3. 更新阶段：基数约束下的后验优化

（1）后验存在概率更新

通过贝叶斯定理更新目标存在概率：

$r_i^{+}=\frac{w_i^{\prime }}{{\sum }_j{w}_j^{\prime }+\left(1-{\sum }_j{r}_j^{-}\right)}$

分母中 $\left(1-{\sum }_j{r}_j^{-}\right)$ 为所有目标均未检测到的概率（虚警补偿项），确保存在概率归一化。

（2）基数平衡优化

使用拉格朗日乘数法，强制基数分布满足期望与方差约束：

$\{\begin{array}{l}\mathbb{E}[N]={\sum }_i{r}_i^{+}\\ \text{Var}[N]={\sum }_i{r}_i^{+}(1-r_i^{+})-{\left({\sum }_i{r}_i^{+}\right)}^2+{\sum }_i(r_i^{+}{)}^2\end{array}$

对偏离先验约束的分布进行惩罚，具体通过调整低概率基数项（如 $P(N=0)$ 或 $P(N>M)$）的权重，使分布更紧凑：
$P(N=n)\propto P_{\text{MBM}}(N=n)\cdot \exp \left(-\lambda (n-{\lambda }_0{)}^2-\mu (n^2-{\sigma }_0^2{)}^2\right)$

其中 $P_{\text{MBM}}(N=n)$ 为传统 MBM 的基数分布。

（3）稀疏化处理

修剪低权重目标（如 $r_i^{+}<ϵ$）以减少计算量，同时通过平衡约束确保剩余目标的基数分布仍满足物理合理性。

相关matlab代码见https://m.tb.cn/h.6j1O0y4?tk=ldQkVcuXjQD

四、典型应用场景：基数敏感场景的最优解

1. 机器人集群导航

• 场景挑战：多机器人在动态环境中协作，需准确估计队友数量（如 “当前视野内有 4 个队友的概率≥90%”），传统 MBM 易因遮挡导致基数误判。
• CB-MBM 优势
  • 通过基数平衡约束，抑制因漏检导致的 “队友数低估”；
  • 输出紧凑的基数分布（如 $P(N=4)=0.95,P(N=3)=0.05$），为任务分配提供可靠依据。

2. 智能安防监控

• 场景挑战：复杂场景下（如人群密集区域），需区分 “异常聚集人数”（如突然出现 10 人聚集的概率），传统 MBM 的多峰分布导致误报。
• CB-MBM 优势
  • 强制基数分布单峰化，避免 “人数在 5 和 15 处同时高概率” 的不合理估计；
  • 结合先验约束（如区域最大容量），动态调整基数期望阈值，提升事件检测精度。

3. 工业自动化质检

• 场景需求：流水线上零件实时计数（如 “当前工位应有 3 个零件，检测到 n=2 的概率> 95% 时触发警报”），传统 MBM 因相似零件漏检导致计数错误。
• CB-MBM 应用
  • 利用基数平衡约束，确保后验基数分布集中在预设值附近（如 $n=3\pm 1$）；
  • 通过调整平衡参数 $\beta$，在高速流水线场景中实现实时准确计数。

五、技术演进与前沿挑战

1. 理论扩展方向

（1）高阶基数约束

• 三阶矩（偏度）约束：$\text{Skew}[N]=\frac{\mathbb{E}[(N-\lambda {)}^3]}{{\sigma }^3},{\sigma }^2=\text{Var}[N]$通过约束偏度值（如接近 0 表示对称分布），处理非对称基数场景（如目标数右偏的密集场景）。
• 非参数化平衡：结合序贯蒙特卡洛方法，实现无先验假设的基数分布自适应，适应目标数无界场景（如无限新生目标）。

（2）分布式基数平衡

设计多平台协同的分布式 CB-MBM，各节点在局部基数估计中嵌入全局平衡约束（如全网目标数一致性），解决分布式跟踪中的基数冲突问题。

2. 工程化关键技术

（1）平衡参数自适应

开发 $\beta ,\lambda ,\mu$ 的在线学习算法，根据观测冲突程度（如马氏距离均值、检测概率波动）动态调整约束强度，避免过度约束或约束不足。

（2）硬件加速优化

• 利用 GPU 并行计算基数分布的约束优化步骤，将 O (M) 的线性时间进一步降低至 O (1)（通过矩阵运算批量处理目标存在概率和权重）；
• 设计稀疏矩阵存储格式，仅保留高权重目标的关联信息，减少内存占用。

（3）鲁棒性增强

• 抗异常值机制：当观测残差超过阈值（如 3 倍标准差）时，自动降低对应目标的似然权重，避免虚警对基数分布的污染；
• 动态检测概率：根据目标距离、遮挡状态动态调整 $p_{d,i}$，提升漏检场景下的基数估计稳定性。

3. 与深度学习融合

• 数据驱动平衡先验：通过历史跟踪数据训练基数分布的先验模型（如 LSTM 预测目标数范围），替代人工设定的 ${\lambda }_0$ 和 ${\sigma }_0^2$；
• 端到端基数估计：将 CB-MBM 的平衡约束嵌入神经网络（如 Transformer 架构），构建可微分的多目标跟踪框架，提升复杂视觉场景（如低照度、模糊目标）下的基数估计精度。

六、总结

CB-MBM 滤波器通过在多伯努利框架中引入基数平衡约束，填补了传统 MBM 在基数估计合理性上的空白，在保持高效计算的同时显著提升了中等密集场景下的跟踪性能。其核心价值在于：

• 机制创新：通过拉格朗日优化实现基数分布的无偏性，解决 “估计值与实际值脱节” 问题；
• 场景适配：在目标数敏感场景（如协作机器人、工业计数）中具有不可替代的优势；
• 工程友好：线性复杂度与稀疏化技术结合，适配嵌入式实时系统。

通过掌握 CB-MBM 的基数平衡思想与递推算法，学习者可在多目标跟踪中实现 “精度” 与 “效率” 的双重优化，为实际工程中的目标感知问题提供更可靠的解决方案。