【2025年五一数学建模竞赛】A题 解题思路与模型代码

2025年五一数学建模竞赛 A题

问题一：推测支路 1 和支路 2 的车流量

1.1 问题描述

根据提供的主路历史数据以及已知的支路车流量变化趋势（支路1呈线性增长，支路2先线性增长后线性减少），推测这两个支路在特定时间段（6:58 到 8:58）内的车流量函数。

1.2 思路分析

(1) 数据预处理：将时间点（如 6:58, 8:58）转换为数值格式，便于计算。例如，可以转换为从 6:58 开始的分钟数。假设 6:58 为 $t=0$，则 8:58 为 t = 120分钟。

(2) 支路 1 模型选择： 由于其车流量呈线性增长趋势，选用线性函数（一次多项式）进行拟合最为合适。模型形式为 $Q_1(t)=a_{1}t+b_1$。

(3) 支路 2 模型选择：}该支路车流量先增后减，呈现分段线性特征。需要确定一个转折点（峰值时间点）$t_{\text{peak}}$。模型形式为分段线性函数：
$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{21}t+b_{21}& 0\le t<t_{\text{peak}}\\ a_{22}t+b_{22}& t_{\text{peak}}\le t\le 120\end{array}$$
其中，$a_{21}>0$（增长段斜率），$a_{22}<0$（减少段斜率）。$t_{\text{peak}}$ 的值需要根据数据或问题描述中的隐含信息来确定（例如，可能是时间段的中点，或者数据呈现峰值的时刻）。
(4) 参数估计：利用提供的主路数据（假设可以分离或推断出各支路的贡献，或者有直接的支路历史数据），使用最小二乘法拟合上述模型，确定参数 $a_1,b_1,a_{21},b_{21},a_{22},b_{22}$ 以及 $t_{\text{peak}}$。

1.3 数学模型

(1) 支路 1 车流量函数：
$$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$
其中 $t$ 是从起始时刻（6:58）开始计算的时间（例如，以分钟为单位），$a_1$ 是增长率，$b_1$ 是初始时刻的车流量。

(2) 支路 2 车流量函数（分段线性）：
$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{21}t+b_{21}& 0\le t<t_{\text{peak}}\\ a_{22}t+b_{22}& t_{\text{peak}}\le t\le T_{\text{end}}\end{array}$$
其中 $t_{\text{peak}}$ 是流量达到峰值的时刻，$T_{\text{end}}$ 是观测结束时刻对应的时间值（例如 120 分钟）。$a_{21},b_{21}$ 是增长段的参数，$a_{22},b_{22}$ 是减少段的参数。通常需要保证函数在 $t_{\text{peak}}$ 处连续，即 $a_{21}{t}_{\text{peak}}+b_{21}=a_{22}{t}_{\text{peak}}+b_{22}$。

1.4 MATLAB 代码

% 假设 time_minutes 是时间点向量 (单位: 分钟, 0 到 120)
% 假设 flow_branch1 是支路1的历史车流量数据向量
% 假设 flow_branch2 是支路2的历史车流量数据向量
% 假设 t_peak_index 是数据中峰值点对应的索引% 支路1: 线性拟合
params_branch1 = polyfit(time_minutes, flow_branch1, 1); % 1表示线性 (一次多项式)
a1 = params_branch1(1);
b1 = params_branch1(2);
Q1_fit = polyval(params_branch1, time_minutes); % 计算拟合值fprintf('支路1模型: Q1(t) = %.4f * t + %.4f\n', a1, b1);% 支路2: 分段线性拟合
% 确定转折点 t_peak (假设已知或通过数据找到)
% 例如，假设 t_peak 是第 k 个时间点 time_minutes(k)
t_peak_val = time_minutes(t_peak_index);% 第一段 (增长段) 拟合
time1 = time_minutes(1:t_peak_index);
flow1 = flow_branch2(1:t_peak_index);
params1_branch2 = polyfit(time1, flow1, 1);
a21 = params1_branch2(1);
b21 = params1_branch2(2);% 第二段 (减少段) 拟合
time2 = time_minutes(t_peak_index:end); % 注意包含转折点
flow2 = flow_branch2(t_peak_index:end);
params2_branch2 = polyfit(time2, flow2, 1);
a22 = params2_branch2(1);
b22 = params2_branch2(2);fprintf('支路2模型 (增长段): Q2(t) = %.4f * t + %.4f (t < %.1f)\n', a21, b21, t_peak_val);
fprintf('支路2模型 (减少段): Q2(t) = %.4f * t + %.4f (t >= %.1f)\n', a22, b22, t_peak_val);% 计算支路2拟合值
Q2_fit = zeros(size(time_minutes));
Q2_fit(1:t_peak_index-1) = polyval(params1_branch2, time_minutes(1:t_peak_index-1));
Q2_fit(t_peak_index:end) = polyval(params2_branch2, time_minutes(t_peak_index:end));% 可选：绘制拟合结果
figure;
subplot(2,1,1); plot(time_minutes, flow_branch1, 'o', time_minutes, Q1_fit, '-'); title('支路1 车流量'); xlabel('时间 (分钟)'); ylabel('车流量'); legend('数据', '拟合');
subplot(2,1,2); plot(time_minutes, flow_branch2, 'o', time_minutes, Q2_fit, '-'); title('支路2 车流量'); xlabel('时间 (分钟)'); ylabel('车流量'); legend('数据', '拟合');

1.5 Python 示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 假设 time_minutes 是时间点数组 (单位: 分钟, 0 到 120)
# 假设 flow_branch1 是支路1的历史车流量数据数组
# 假设 flow_branch2 是支路2的历史车流量数据数组
# 假设 t_peak_index 是数据中峰值点对应的索引# 支路1: 线性拟合
params_branch1 = np.polyfit(time_minutes, flow_branch1, 1) # 1表示线性
a1, b1 = params_branch1
Q1_fit = np.polyval(params_branch1, time_minutes) # 计算拟合值print(f'支路1模型: Q1(t) = {a1:.4f} * t + {b1:.4f}')# 支路2: 分段线性拟合
# 确定转折点 t_peak
t_peak_val = time_minutes[t_peak_index]# 第一段 (增长段) 拟合
time1 = time_minutes[:t_peak_index]
flow1 = flow_branch2[:t_peak_index]
params1_branch2 = np.polyfit(time1, flow1, 1)
a21, b21 = params1_branch2# 第二段 (减少段) 拟合
time2 = time_minutes[t_peak_index:] # 注意包含转折点
flow2 = flow_branch2[t_peak_index:]
params2_branch2 = np.polyfit(time2, flow2, 1)
a22, b22 = params2_branch2print(f'支路2模型 (增长段): Q2(t) = {a21:.4f} * t + {b21:.4f} (t < {t_peak_val:.1f})')
print(f'支路2模型 (减少段): Q2(t) = {a22:.4f} * t + {b22:.4f} (t >= {t_peak_val:.1f})')# 计算支路2拟合值
Q2_fit = np.zeros_like(time_minutes, dtype=float)
Q2_fit[:t_peak_index] = np.polyval(params1_branch2, time_minutes[:t_peak_index])
Q2_fit[t_peak_index:] = np.polyval(params2_branch2, time_minutes[t_peak_index:])# 可选：绘制拟合结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(time_minutes, flow_branch1, 'o', label='数据')
plt.plot(time_minutes, Q1_fit, '-', label='拟合')
plt.title('支路1 车流量')
plt.xlabel('时间 (分钟)')
plt.ylabel('车流量')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(time_minutes, flow_branch2, 'o', label='数据')
plt.plot(time_minutes, Q2_fit, '-', label='拟合')
plt.title('支路2 车流量')
plt.xlabel('时间 (分钟)')
plt.ylabel('车流量')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

2 问题二：推测多支路 (支路 1, 2, 3, 4) 的车流量

2.1 问题描述

需要推测四个支路的车流量函数，这些支路具有不同的变化规律（如：稳定、线性增长、线性减少、周期性）。数据提供了主路车流量记录（可能需要分解或假设已知各支路数据）。
知各支路数据）。

2.2 思路分析

(1) 确定各支路趋势： 根据问题描述，为每个支路确定其变化模式。

• 支路 1 (稳定): 车流量近似为常数。
• 支路 2 (线性): 同问题 1 的支路 2，使用线性函数。
• 支路 3 (线性): 使用分段线性函数。
• 支路 4 (周期性): 车流量随时间呈周期性波动，可能需要使用三角函数（如正弦、余弦）或傅里叶级数来建模。
  (2) 选择合适的模型：
• 支路 1: $$Q_1(t)=C_1$$ (常数模型)
• 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2(a_2>0)$$
• 支路 3: $$Q_3(t)=a_{3}t+b_3(a_3<0)$$
• 支路 4: $$Q_4(t)=A\sin (\omega t+\varphi )+C_4$$ 或 $$Q_4(t)=A\cos (\omega t+\varphi )+C_4$$其中 $A$ 是振幅，$\omega =\frac{2\pi }{T}$ 是角频率（$T$ 是周期），$\varphi$ 是相位，$C_4$ 是平均流量（垂直偏移）。如果周期性模式复杂，可能需要更高阶的傅里叶项。

(3) 参数估计：对每个支路，使用对应的历史数据和选定的模型，通过最小二乘法或其他拟合技术（如非线性最小二乘法对周期模型）估计模型参数。

2.3 数学模型

(1) 支路 1: $$Q_1(t)=C_1$$
(2) 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2$$
(3) 支路 3: $$Q_3(t)=a_{3}t+b_3$$
(4) 支路 4 (正弦模型): $$Q_4(t)=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}t+\varphi \right)+C_4$$

3 问题三：考虑交通信号灯影响下的车流量推测

3.1 问题描述

在一个特殊路段，支路 3 的车流量受到周期为 18 个时间单位（假设是分钟）的交通信号灯控制。需要推测支路 1、2、3 在此情况下的车流量。支路 1 和 2 的趋势与之前类似（可能是线性或其他简单模式）。

3.2 思路分析

(1) 支路 1 和 2：沿用之前的建模方法（例如线性模型 $at+b$）。

(2) 支路 3（信号灯控制）：车流量会呈现周期性，周期 $T=18$。在一个周期内，流量可能在绿灯时段为一个较高值（可能非恒定，有启动和饱和过程），在红灯时段为零或接近零。

(3) 建模支路 3：

• 方法一（简化模型）：将周期内的行为理想化。例如，假设绿灯持续 $T_{\text{green}}$ 分钟，红灯 $T_{\text{red}}$ 分钟（$T_{\text{green}}+T_{\text{red}}=18$）。模型可以是一个周期性方波函数，或者更平滑的周期函数。例如，可以拟合一个傅里叶级数，其基频对应周期 18。
• 方法二（数据驱动）：计算每个数据点时间 $t$ 对应的周期内时间 $t_{\text{cycle}}=t(\text{mod}18)$。然后绘制 $Q_3$ vs $t_{\text{cycle}}$ 的散点图，观察一个周期内的流量模式。根据这个模式选择合适的函数（可能是分段函数、平滑脉冲函数等）来拟合。
  (4) 参数估计：对支路 1 和 2 使用线性拟合。对支路 3，根据所选模型进行拟合。如果是傅里叶级数，确定需要的谐波次数；如果是自定义周期函数，拟合其参数。

3.3 数学模型

(1) 支路 1: $$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$ (或其他简单模型)
(2) 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2$$ (或其他简单模型)
(3) 支路 3 (周期模型)：

• 傅里叶级数形式：$$Q_3(t)\approx C_0+\sum _{k=1}^N\left[A_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T}t\right)+B_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T}t\right)\right]$$，其中 $T=18$。
• 基于周期内时间 $t_{\text{cycle}}=t(\text{mod}18)$ 的函数：$$Q_3(t)=f(t(\text{mod}18))$$，函数 $f(x)$ 描述了在一个周期 $x\in [0,18)$ 内的流量变化模式，需要根据数据拟合。

4 问题四：推测数据误差

4.1 问题描述

考虑到监测设备可能存在误差，要求在有误差的数据基础上，推测“实际”的车流量。可能需要描述误差的特性或修正数据。

4.2 思路分析

(1) 理解误差：误差可能是随机的（噪声），也可能是系统性的（偏差）。问题可能给出误差范围（如 ±5%）或类型（如高斯噪声）。

(2) 误差建模/处理：

• 随机噪声：如果假设误差是零均值的随机噪声，那么之前通过拟合得到的平滑曲线（如 $Q_{\text{fit}}(t)$）可以被视为对“实际”车流量 $Q_{\text{true}}(t)$ 的估计。拟合过程本身就有平滑噪声的作用。可以使用数据平滑技术（如移动平均、Savitzky-Golay 滤波器）预处理数据，然后再进行拟合。
• 系统偏差：如果存在已知的系统偏差（例如，设备总是多报 5%），则可以在得到拟合函数 $Q_{\text{fit}}(t)$ 后进行修正，例如 $Q_{\text{corrected}}(t)=Q_{\text{fit}}(t)/1.05$。
• 误差范围：如果只知道误差范围，可以给出实际流量的置信区间。例如，如果误差是 ±δ，则实际流量可能在 $[Q_{\text{fit}}(t)-\delta ,Q_{\text{fit}}(t)+\delta ]$ 范围内。
• 推测误差特性：可以分析残差 $e(t)=Q_{\text{measured}}(t)-Q_{\text{fit}}(t)$，检查其分布、自相关性等，以推断误差的性质（是否随机、是否有特定模式）。
  (3) 鲁棒拟合：如果数据中存在少量异常值（可能是大的测量错误），可以使用鲁棒拟合方法（Robust Fitting），这种方法对异常值的敏感度较低。

4.3 数学模型

(1) 观测模型：$$Q_{\text{measured}}(t)=Q_{\text{true}}(t)+ϵ(t)$$，其中 $ϵ(t)$ 是误差项。
(2) 目标：估计 $Q_{\text{true}}(t)$。
(3) 方法：通过拟合得到 ${\hat{Q}}_{\text{true}}(t)=Q_{\text{fit}}(t)$。
(4) 误差分析：研究残差 $e(t)=Q_{\text{measured}}(t)-Q_{\text{fit}}(t)$。例如，计算残差的标准差 ${\sigma }_e$ 作为误差大小的度量。
(5) 置信区间（假设误差 $ϵ\sim N(0,{\sigma }^2)$ 且 $\sigma$ 已知或估计）：$Q_{\text{true}}(t)$ 的 $(1-\alpha )$ 置信区间近似为 $Q_{\text{fit}}(t)\pm z_{\alpha /2}\times SE(Q_{\text{fit}}(t))$，其中 $SE$ 是拟合值的标准误。

5 问题五：确定最少需要记录的数据时刻

5.1 问题描述
为了能够推测出完整的车流量函数（例如问题 1-3 中描述的那些），最少需要记录哪些时刻的数据？

5.2 思路分析

(1) 模型复杂度决定：所需最少数据点数取决于要拟合的模型的自由度（参数个数）。一个有 $k$ 个参数的模型至少需要 $k$ 个独立的数据点才能唯一确定参数（理论上）。为了获得可靠的拟合和评估拟合优度，通常需要 $n>k$ 个点。
(2) 识别关键特征点：数据记录的时刻应该能够捕捉到函数的主要特征。

• 对于线性模型（$at+b,k=2$）：至少需要 2 个不同时刻的点。为了更好地确定直线，通常选择时间段的开始和结束点，或者分布均匀的几个点。

• 对于分段线性模型（如问题 1 支路 2，假设 2 段，每段 2 个参数，加转折点位置，共 5 个参数；或转折点已知，则 4 个参数）：需要覆盖每一段，并能确定转折点的位置。至少需要在转折点附近以及每段的内部取点。例如，开始点、结束点、转折点、每段中间点。

• 对于周期模型（如正弦 $A\sin (\omega t+\varphi )+C,k=4$）：需要覆盖至少一个完整周期，并能捕捉到峰值、谷值和过零点（或均值点）等特征。理论上 4 个点可能够，但为了确定周期 $T$（或频率 $\omega$）和相位 $\varphi$，通常需要更多点，特别是在一个周期内分布均匀的点，以及跨越多个周期的点来确认周期性。奈奎斯特采样定理指出，要无失真地恢复周期信号，采样频率至少是信号最高频率的两倍。

• 对于常数模型（$C,k=1$）：理论上 1 个点就够，但为了确认稳定性，需要多个点。
  (3) 策略：

• 根据每个支路预期的函数形式，确定其模型参数个数 $k$。

• 选择 $n\ge k$ 个能反映函数形态的关键时刻点。这些点应包括：时间段的起点和终点、预期的极值点（峰值、谷值）、趋势改变点（如分段模型的转折点）、周期性特征点（如正弦波的特定相位点）。

• 如果模型复杂或数据有噪声，需要更多的点来保证拟合的稳定性和准确性。

5.3 数学模型（概念）

(1) 模型参数数量 $k$。
(2) 所需最少数据点数 $n_{\text{min}}=k$（理论下限）。
(3) 实际推荐点数 $n_{\text{rec}}>k$。
(4) 关键点选择：$t_{\text{start}},t_{\text{end}},t_{\text{peak}},t_{\text{valley}},t_{\text{inflection}}$ 等。
(5) 对于周期 $T$ 的信号，采样时间间隔 $\Delta t<T/2$（根据奈奎斯特频率）。

国奖学姐后续会更新完整论文与求解代码，完整版请看文章下方~