网络流之最大流（Dinic）

正文

在了解了Ford-Fulkerson 和Edmonds-Karp之后，我们可以进一步学习更高效的算法——Dinic。

Dinic算法的时间复杂度是O(V²×E)，实际运用过程中是比EK算法快的。

首先我们要知道Dinic中几个重要的概念和优化。

分层图是通过BFS从源点开始，按照节点到源点的最短距离（边数），给所有节点分配层级（level）构建的。

在DFS中只允许向更深层的节点推进，避免“绕远路”。每次增广都沿着最短路径，提高效率。同时可以使得DFS一次找到多条增广路径。

阻塞流是指在当前分层图中，无法再找到从源点到汇点的增广路径的流。

不是最大流，但增加它会阻塞分层图中的所有路径。每次找到阻塞流后，必须重建分层图才能继续增广。Dinic算法每次迭代找到一个阻塞流，而非单条增广路径。

当前弧优化就是iter数组，记录了节点当前应该从哪条边开始检查

可以避免重复检查，每次重建分层图后要重置iter数组。跳过已检查的无效边，提高效率。此外，之后反向边的更新并不会影响之前的边。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 205;
const int INF = 1e18;
struct Edge {int to, cap, rev;
};
vector<Edge> g[N];
int level[N], iter[N];
void bfs(int s) {//重置层级memset(level, -1, sizeof(level));queue<int> q;level[s] = 0;q.push(s);while (!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();for (auto& e : g[u]) {if (e.cap > 0 && level[e.to] < 0) {level[e.to] = level[u] + 1;q.push(e.to);}}}
}int dfs(int u, int t, int f) {if (u == t) return f;for (int& i = iter[u]; i < g[u].size(); i++) {//从当前弧开始，引用确保一起增加auto& e = g[u][i];if (e.cap > 0 && level[u] < level[e.to]) {int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));if (d > 0) {e.cap -= d;g[e.to][e.rev].cap += d;return d;}}}return 0;
}int max_flow(int s, int t) {int flow = 0;while (true) {bfs(s);if (level[t] < 0) break;//表示汇点不可达memset(iter, 0, sizeof(iter));int f;while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0) {//dfs计算阻塞流flow += f;}}return flow;
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m, s, t;cin >> n >> m >> s >> t;for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;g[u].push_back({ v, w, (int)g[v].size() });g[v].push_back({ u, 0, (int)g[u].size() - 1 });}cout << max_flow(s, t) << endl;return 0;
}

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