深入剖析EM算法：原理、推导与应用

内容摘要

本文详细介绍了最大期望算法（EM算法）。阐述其作为迭代进行极大似然估计的优化算法，在处理包含隐变量或缺失数据的概率模型参数估计中的应用。深入探讨EM算法的基本思想、推导过程、求解步骤及算法流程，助力读者理解并运用该算法解决实际问题。

关键词：EM算法；最大期望算法；极大似然估计；隐变量；参数估计

一、引言

在机器学习和统计学领域，处理包含隐变量或缺失数据的概率模型时，参数估计往往面临诸多挑战。最大期望算法（Expectation - Maximization Algorithm，EM算法）作为一种强大的迭代优化算法，为这类问题提供了有效的解决方案。EM算法通过迭代的方式进行极大似然估计，能够在复杂模型中高效地估计参数，在数据挖掘、机器学习、计算机视觉等众多领域有着广泛的应用。本文将深入剖析EM算法的原理、推导过程、算法流程以及实际应用，帮助读者全面掌握这一重要算法。

二、EM算法的基本思想

EM算法的基本思想基于两个步骤的交替计算，通过不断迭代来逐步逼近最优的参数估计值。

1. 计算期望（E步）：利用对隐藏变量的现有估计值，计算其极大似然估计值。在这一步中，根据当前模型参数的估计值，计算隐藏变量的后验概率分布，进而得到隐藏变量的期望。可以理解为在已知当前模型参数的情况下，对隐藏变量的可能取值进行合理推测和加权平均。
2. 最大化（M步）：最大化在E步上求得的极大似然值来计算参数的值。通过对期望似然函数进行最大化操作，更新模型的参数。这一步的目的是找到一组新的参数，使得模型在给定数据下的似然函数值更大，从而提高模型对数据的拟合程度。

M步上找到的参数估计值会被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行，直到模型收敛，即参数估计值不再发生显著变化，或者似然函数值不再显著增加。

三、EM算法推导

对于$m$个样本观察数据$x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(m)}$，假设样本的模型参数为$\theta$，其极大化模型分布的对数似然函数为：$$\theta =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\log P(x^{(i)};\theta )$$

当得到的观察数据存在未观察到的隐含数据$z^{(1)},z^{(2)},\cdots ,z^{(m)}$时，极大化模型分布的对数似然函数变为：$$\theta =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\log P(x^{(i)};\theta )=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\log \sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$$

由于上式不能直接求出$\theta$，所以采用缩放技巧。根据Jensen不等式：$$\log \sum _j{\lambda }_j{y}_j\ge \sum _j{\lambda }_j\log y_j$$，其中${\lambda }_j\ge 0$且${\sum }_j{\lambda }_j=1$

引入一个未知的新分布$Q_i(z^{(i)})$，使得$$\sum _{i=1}^m\log \sum _{z^{(i)}}P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )=\sum _{i=1}^m\log \sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}\ge \sum _{i=1}^m\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$$ 。

为了满足Jensen不等式中的等号，令$\frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}=c$（$c$为常数）。又因为$Q_i(z^{(i)})$是一个分布，满足${\sum }_z{Q}_i(z^{(i)})=1$，综上可得：$$Q_i(z^{(i)})=\frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{{\sum }_{z}P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}=\frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{P(x^{(i)};\theta )}=P(z^{(i)}|x^{(i)};\theta )$$

此时，如果$\theta$使得上式成立，那么$$\sum _{i=1}^m\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$$是包含隐藏数据的对数似然的一个下界。如果能极大化这个下界，则也在尝试极大化对数似然。即需要最大化下式：$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$$，简化得：$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )$$，这就是EM算法的M步

而$$Q_i(z^{(i)})=P(z^{(i)}|x^{(i)};\theta )$$可理解为基于条件概率分布$P(z^{(i)}|x^{(i)};\theta )$计算$z^{(i)}$的期望，即为E步。

四、图解EM算法

考虑到含有隐变量的模型$p(x|\theta )$复杂，难以求解析解，为了消除隐变量的影响，可以选择一个不包含隐变量的模型$r(x|\theta )$，使其满足一定条件。EM算法求解示意图如下：

图1 EM算法求解示意图

在图中，目标模型$p(x|\theta )$复杂，难以直接求解。求解步骤如下：

1. 选取${\theta }_1$，使得$r(x|{\theta }_1)\le p(x|{\theta }_1)$，然后对此时的$r$求取最大值，得到极值点${\theta }_2$，实现参数的更新。
2. 重复以上过程到收敛为止，在更新过程中始终满足$r\le p$。通过不断迭代，逐步逼近最优的参数估计值，使得模型能够更好地拟合数据。

五、EM算法流程

EM算法的输入包括观察数据$x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(m)}$，联合分布$p(x,z;\theta )$，条件分布$p(z|x;\theta )$以及最大迭代次数$J$。

1. 随机初始化模型参数$\theta$的初值${\theta }^0$ 。
2. 设当前迭代次数为$j$，$j$从1到$J$进行迭代：
   • E步：计算联合分布的条件概率期望。
     • 计算$Q_i(z^{(i)})=P(z^{(i)}|x^{(i)};{\theta }^j)$ 。
     • 计算$L(\theta ,{\theta }^j)={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{z^{(i)}}\log P(z^{(i)}|x^{(i)};{\theta }^j)\log P(x^{(i)},z^{(i)};\theta )$ 。
   • M步：极大化$L(\theta ,{\theta }^j)$，得到${\theta }^{j+1}$，即${\theta }^{j+1}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}L(\theta ,{\theta }^j)$ 。
   • 如果${\theta }^{j+1}$收敛，则算法结束，否则继续进行E步迭代。
3. 输出模型参数$\theta$ 。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的联合分布$p(x,z;\theta )$和条件分布$p(z|x;\theta )$，并合理设置最大迭代次数$J$，以确保算法能够收敛到满意的结果。

六、总结

EM算法作为处理包含隐变量或缺失数据概率模型参数估计的有效方法，通过巧妙的迭代策略，在E步和M步的交替执行中不断优化模型参数。其基本思想简单而深刻，推导过程严谨且富有逻辑性，为解决复杂模型的参数估计问题提供了有力的工具。

从图解EM算法的过程可以直观地看到，它如何通过逐步迭代逼近最优解，使得模型更好地拟合数据。