数论常见公式定理大全

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写在前面

本文仅罗列公式或定理供大家查阅，不进行详细的推导。
约定符号 $(a,b)$ 为 $\gcd (a,b)$，$[a,b]$ 为 $\mathrm{lcm}(a,b)$（最大公约数，最小公倍数）。
符号 $v_p(m)=\alpha$，表示 $p^{\alpha }\mid m$，但 $p^{\alpha +1}\nmid m$，即 $p^{\alpha }\Vert m$.

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一、基础概念

1. 整除

1.1 带余除法

设 $a,b$ 为整数，$b>0$，则存在整数 $q$ 和 $r$，使得 $$a=bq+r,$$ 其中 $0\le r<b$.

1.2 最大公约数

裴蜀定理 $a,b$ 互素的充要条件是：存在整数 $x,y$，使得 $$ax+by=1.$$ 上面的等式称为裴蜀等式。

导出性质：

• $a$ 与 $b$ 的任一个公约数都是它们最大公约数的约数。
• 设 $m$ 是正整数，则 $m(a,b)=(ma,mb)$.
• 设 $(a,b)=d$，则 $\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1$.
• 设 $a,b$ 均与 $m$ 互素，则 $ab$ 也与 $m$ 互素。
  • 即：与 $m$ 互素的整数关于乘法封闭。
  • 一般地，如果 $a_1,\cdots ,a_n$ 均与 $m$ 互素，则 $a_1\cdots a_n$ 与 $m$ 互素。
• 设 $b\mid ac$，若 $(b,c)=1$，则 $b\mid a$.

1.3 最小公倍数

重要性质：

• 设 $m$ 是整数，$a\mid m$，$b\mid m$，则 $[a,b]\mid m$.

• 设 $m$ 是正整数，则 $m[a,b]=[ma,mb]$.

• $(a,b)[a,b]=|ab|$。特别地，若 $(a,b)=1$，则 $[a,b]=|ab|$.

  注意，该性质只在两个整数的情况下才成立，对于多个数的情况 $(a_1,\cdots ,a_n)[a_1,\cdots ,a_n]=|a_1\cdots a_n|$ 则不然。而上面的两条性质，对于多个整数的最小公倍数依然成立。

• 设 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 是两两互素的正整数，$a$ 是任意整数。若 $b_i\mid a(i=1,2,\cdots ,n)$，则 $b_1\cdots b_n\mid a$.

  • 特别地，两两互素的正整数的最小公倍数等于它们的乘积。

1.4 两个乘法公式

• $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +x{y}^{n-2}+y^{n-1})$（$x$ 是正整数）
• $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots -x{y}^{n-2}+y^{n-1})$（$x$ 是正奇数）
• 直接结论：$a^p-1\mid a^{pq}-1$，$a^q-1\mid a^{pq}-1$.

1.5 有关整除的不等式

• 若 $b\mid a$，$a\ne 0$，则 $|b|<|a|$（$|b|\le \frac{1}{2}|a|$）
• 若 $b\mid a$，$|a|<|b|$，则 $a=0$
• 若 $b\mid a$，$a\mid b$，则 $a=b$.

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2. 素数

2.1 唯一分解定理

唯一分解定理

• 每个大于 $1$ 的整数均可分解为有限个素数的积。
• 如果不计素因数在乘积中的次序，则分解方式唯一。

可知每个大于 $1$ 整数 $n$ 可唯一地写成 $$n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k},$$其中 $p_1,\cdots ,p_k$ 是互不相同的素数，而 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k$ 是正整数。上式称为 $n$ 的标准分解。

关于正整数约数的几个基本性质：

• 设 $n$ 的标准分解式为 $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$，则正整数 $d$ 是 $n$ 的约数的充要条件是：其标准分解式 $d=p_1^{{\beta }_1}\cdots p_k^{{\beta }_k}$ 满足 $0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i(i=1,\cdots ,k)$.
• 记 $\tau (n)$ 是 $n$ 的正约数个数，$\sigma (n)$ 是 $n$ 的正约数之和，设 $n$ 的标准分解式为 $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$，则
  • $\tau (n)=({\alpha }_1+1)\cdots ({\alpha }_k+1)$
  • $\sigma (n)=\frac{p_1^{{\alpha }_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_k^{{\alpha }_k+1}-1}{p_k-1}$
• $n$ 为完全平方数的充要条件是 $\tau (n)$ 为奇数。
• 设 $a,b$ 的标准分解式分别为 $a=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$，$b=p_1^{{\beta }_1}\cdots p_k^{{\beta }_k}$，其中 $p_1,\cdots ,p_k$ 是不同的素数（为了使两个分解式在形式上包含同样的素数，允许指数 ${\alpha }_i$ 和 ${\beta }_i$ 取 $0$，但不能都为 $0$. $i=1,\cdots ,k$）。则：
  • $(a,b)=\prod _{i=1}^k{p}_i^{\min ({\alpha }_i,{\beta }_i)}$.
  • $[a,b]=\prod _{i=1}^k{p}_i^{\max ({\alpha }_i,{\beta }_i)}$ .

2.2 n! 的标准分解

对于任意的 $n>1$ 及素数 $p$，设 $v_p(n!)=\alpha$，则 $$\alpha =\sum _{l=1}^{\infty }\left[\frac{n}{p^l}\right].$$
该公式与 $n$ 的 $p$ 进制表示也有一些关联。设 $n=(a_k\cdots a_0{)}_p=a_k{p}^k+\cdots +a_{1}p+a_0$，其中 $0\le a_i<p$，$i=1,\cdots ,k$，$a_k\ne 0$. 记 $S_p(n)=a_0+\cdots +a_k$，则 $$\alpha =\frac{n-S_p(n)}{p-1}.$$

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3. 同余

3.1 同余的简单性质

当然，最基础的运算比方说加、减、乘、乘方就不写了（因为我懒），这些性质都很显然。
然而，同余的消去律却并不总是成立，并且同余中也没有比较普遍的除法，因为一个整数除以另一个整数未必还是整数。

• 若 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv b\left(\mathrm{mod}\frac{d}{(c,m)}\right)$
  • 特别地，当 $(c,m)=1$ 时，有 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。即在 $c$ 与 $m$ 互素时，消去律成立。
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，而 $d\mid m$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}d)$.
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$d\ne 0$，则 $da\equiv db(\mathrm{mod}dm)$.
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}{m}_i)(i=1,\cdots ,k)$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}[m_1,\cdots ,m_k])$.

3.2 完系 & 缩系

由一个完/缩系产生另一个完/缩系。

• 设 $(a,m)=1$，$b$ 是任意整数
  • 若 $c_1,\cdots ,c_m$ 是模 $m$ 的完系，则 $a{c}_1+b,\cdots ,a{c}_m+b$ 也是模 $m$ 的完系
  • 若 $r_1,\cdots ,r_{\phi (m)}$ 是模 $m$ 的缩系，则 $a{r}_1,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 也是模 $m$ 的缩系
• 设 $(a,m)=1$，$b$ 是任意整数，则有整数 $x$，使得 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$，并且所有这样的 $x$ 形成模 $m$ 的一个同余类。
• 两个完/缩系中数的和、积、平方和等必然同余。

模 $m$ 的逆：若 $(a,m)=1$，则存在 $x$ 使得 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$. 我们称满足上式的 $x$ 为 $a$ 关于模 $\mathbf{m}$ 的逆，记作 $a^{-1}$ 或 $\frac{1}{a}$.
性质：

• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $\frac{1}{a}\equiv \frac{1}{b}(\mathrm{mod}m)$，反之亦然
• $\frac{1}{ab}\equiv \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}(\mathrm{mod}m)$
• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\equiv \frac{a+b}{ab}(\mathrm{mod}m)$
• 若 $a_1,\cdots ,a_{\phi (m)}$ 是模 $m$ 的一个缩系，则 $\frac{1}{a_1},\cdots ,\frac{1}{\phi (m)}$ 也是模 $m$ 的一个缩系

3.3 欧拉函数

欧拉函数 $\phi (m)$ 的几个重要性质：

• 若 $m>2$，则 $\phi (m)$ 是偶数
• 设 $m=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ 是 $m$ 的标准分解，则 $$\phi (m)=m\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$$\phi (m)$ 是积性函数，若 $(m,n)=1$，则 $\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$.
• $\sum _{d\mid m}\phi (d)=m$.

3.4 模 m 的阶

• 设 $(a,m)=1$，$k$ 是 $a$ 模 $m$ 的阶，$u,v$ 是任意整数，则 $a^u\equiv a^v(\mathrm{mod}m)$ 的充分必要条件是 $u\equiv v(\mathrm{mod}k)$
  • 特别地，$a^u\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 的充要条件是 $k\mid u$
• 设 $(a,m)=1$，$a$ 模 $m$ 的阶为 $k$，则数列 $a,a^2,a^3,\cdots$ 模 $m$ 是周期的，且最小正周期为 $k$，而这 $k$ 个数模 $m$ 互不同余
• 设 $(a,m)=1$，则 $a$ 模 $m$ 的阶整除欧拉函数 $\phi (m)$
  • 特别地，若 $m$ 是素数 $p$，则 $a$ 模 $p$ 的阶整除 $p-1$.
• 设 $(m_1,m_2)=1$，$a$ 模 $m_1$ 的阶为 $k_1$，$a$ 模 $m_2$ 的阶为 $k_2$，则 $a$ 模 $m_1{m}_2$ 的阶为 $[k_1,k_2]$
• 设 $p$ 是素数，$i,j$ 为正整数且 $i<j$，$a$ 模 $p^i$ 的阶为 $k_1$，$a$ 模 $p^j$ 的阶为 $k_2$，则有 $k_1\mid k_2$

原根：若存在整数 $g$，$(g,m)=1$，使 $g$ 模 $m$ 的阶恰为 $\phi (m)$，则称模 $m$ 有原根，并称 $g$ 是模 $m$ 的一个原根。

• 若模 $m$ 存在原根 $g$，则 $g,g^2,\cdots ,g^{\phi (m)}$ 形成模 $m$ 的一个缩系
• 当且仅当 $m=2,4,p^l,2p^l$（$p$ 是奇素数）时，模 $m$ 才有原根

3.5 二次剩余

当存在 $x$ 使得 $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ 成立，则称 $a$ 为 $x$ 模 $p$ 的二次剩余，否则称为非二次剩余。
当 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余时，称 $\frac{a}{p}$ 是平方元，否则是非平方元。

勒让德符号 ⬇️（见下图，图片源自百度百科）

*符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 也可以记为 $(a\mid p)$，这样会更方便打。

如果想具体了解二次剩余和两类奇素数的关系，可以看 this.

二次互反律

对于两个不同的奇素数 $p$ 和 $q$，其勒让德符号满足 $(q\mid p)=(p\mid q)(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}$.
有了这些性质，我们就可以计算任意的勒让德符号了。

高斯二平方和定理

方程 $x^2+y^2=n$（$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$）有解，当且仅当 $n$ 所含有的 $4k+3$ 型素因子幂次都为偶。

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4. 数论中两类特殊的数

费马数和梅森数是数论中两类特别重要的数。

4.1 费马数

形如 $F_n=2^{2^n}+1$ 的数称为费马数。费马数两两互素（从而能证明素数有无穷多个）。可以通过阶来证明，$2^{2^n}+1$ 的任一素因子具有形式 $2^{n+1}x+1$，其中 $x$ 是正整数。

4.2 梅森数

形如 $M_p=2^p-1$ 的数称为梅森数，这里 $p$ 是素数。容易知道，若 $M_p$ 为素数，则 $p$ 必为素数。我们同样可以用阶来证明，$2^p-1$ 的任一素因子具有形式 $2px+1$，其中 $x$ 是正整数。

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5. 数论中的局部化

定义和部分性质参见 2.2.
局部a化是一种从局部考虑问题的方法，通常会从某个特定的素因子入手寻找突破口。
$v_p(n)$ 具有很多有用的性质：

• $v_p(mn)=v_p(m)+v_p(n)$.
• vp(m+n)≥min⁡{vp(m),vp(n)}v_p(m+n)\ge\min\{v_p(m),v_p(n)\}vp​(m+n)≥min{vp​(m),vp​(n)}.
  • 特别地，若 $v_p(m)<v_p(n)$，则 $v_p(m+n)=v_p(m)$
  • 一般地，若 $v_p(m_1)<v_p(m_i)(2\le i\le n)$，则 $v_p(m_1+\cdots +m_n)=v_p(m_1)$
• $v_p(n!)=\sum _{l=1}^{\infty }\left[\frac{n}{p^l}\right]=\frac{n-S_p(n)}{p-1}$，其中 $S_p(n)$ 是将 $n$ 用 $p$ 进制表示后的数字和。
• $v_p(C_n^k)=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$
  • 算术意义：将 $k$ 和 $n-k$ 用 $p$ 进制表示后相加的进位次数。

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6. 取整函数

$[x]$ 称为取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数；{x}\{x\}{x} 称为小数部分函数，定义为 {x}=x−[x]\{x\}=x-[x]{x}=x−[x]。

• $x-1<[x]\le x<[x]+1$
• $a\in \mathbb{Z}$，则 $[a+x]=a+[x]$
• $[x+y]\ge [x]+[y]$，{x+y}≤{x}+{y}\{x+y\}\le\{x\}+\{y\}{x+y}≤{x}+{y}
• $[-x]=\{\begin{array}{l}-[x],x\in \mathbb{Z}\\ -[x]-1,x\notin \mathbb{Z}\end{array}$
• 艾米特恒等式
  • $[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\cdots +\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=[nx]$
  • {x}+{x+1n}+⋯+{x+n−1n}={nx}+n−12\{x\}+\left\{x+\dfrac1n\right\}+\cdots+\left\{x+\dfrac{n-1}n\right\}=\{nx\}+\dfrac{n-1}2{x}+{x+n1​}+⋯+{x+nn−1​}={nx}+2n−1​

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7. 不定方程

7.1 二元一次与三元一次不定方程

二元一次不定方程：$ax+by=c(a,b,c\in \mathbb{Z})$

• 有整数解当且仅当 $(a,b)\mid c$.
• 特解 $x=x_0$，$y=y_0$；通解 $x=x_0+\frac{bt}{(a,b)}$，$y=y_0-\frac{at}{(a,b)}$

三元一次不定方程：$ax+by+c=d(a,b,c,d\in \mathbb{Z})$

• 有整数解当且仅当 $(a,b,c)\mid d$.

7.2 佩尔方程

形式：$x^2-dy=1$（$d$ 无平方因子），该方程一定有无穷多组正整数解。
特解（基本解：最小解） $x=x_1$，$y=y_1$
通解 $\{\begin{array}{l}{x}_n=\frac{1}{2}[(x_1+\sqrt{d}{y}_1{)}^n+(x_1-\sqrt{d}{y}_1{)}^n]\\ y_n=\frac{1}{2\sqrt{d}}[(x_1+\sqrt{d}{y}_1{)}^n-(x_1-\sqrt{d}{y}_1{)}^n]\end{array}$ （$n=1,2,\cdots$）

线性递推关系：$\{\begin{array}{l}{x}_n=2x_1{x}_{n-1}-x_{n-2}\\ y_n=2x_1{y}_{n-1}-y_{n-2}\end{array}$

*事实上，无论 $(x_1,y_1)$ 是否为基本解，但由递推关系可以导出无穷多组正整数解。

7.3 勾股方程

形式：$x^2+y^2=z^2$
通解 $\{\begin{array}{l}x=a^2-b^2\\ y=2ab\\ z=a^2+b^2\end{array}$

7.4 方程 xy = zt

形式：$xy=zt$
通解：$x=ac$，$y=bd$，$z=ad$，$t=bc$

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二、定理

1. 费马小定理与欧拉定理

费马小定理
$p$ 是素数，$p\nmid a$，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
也可表述为：$p$ 为素数，对于任意整数 $a$，有 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$

欧拉定理
设 $(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

2. 威尔逊定理

设 $p$ 是素数，则 $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

3. 中国剩余定理

设 $m_1,m_2,\cdots ,m_k$ 是两两互质的正整数，那么对于任意整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$，一次同余方程组 $$x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1),\cdots ,x\equiv a_k(\mathrm{mod}{m}_k)$$ 必有解，且解可以写为：$$x=M_1{M}_1^{-1}{a}_1+\cdots +M_k{M}_k^{-1}{a}_k(\mathrm{mod}m),$$ 其中 $m=m_1{m}_2\cdots m_k$，$M_i=\frac{m}{m_i}$，$M_i{M}_i^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)(1\le i\le k)$.

4. 拉格朗日定理

设 $p$ 是素数，$n$ 是非负整数，多项式 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是一个模 $p$ 为 $n$ 次的整系数多项式（即 $p\nmid a_n$），则同余方程 $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ 至多有 $n$ 个解（在模 $p$ 有意义的情况下）。

5. 卢卡斯定理

设 $n\ge k$ 为正整数，$p$ 为素数，设 $n$ 与 $k$ 的 $p$ 进制表示为 $n=(a_d\cdots a_0{)}_p$，$k=(b_d\cdots b_0{)}_p$，则 $C_n^k\equiv \prod _{i=0}^d{C}_{a_i}^{b_i}(\mathrm{mod}p)$.

由此可见，$p\mid C_n^k$ 的充要条件是：存在一个 $i$ 使得 $a_i<b_i$.

6. 升幂定理（指数提升定理）

$p$ 为奇素数，$x,y,n\in \mathbb{Z}$，$(x,p)=(y,p)=1$，$x\equiv y(\mathrm{mod}p)$，则 $v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)$.
等价形式：$v_p(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1})=v_p(n)$

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三、几个较为常用的小结论

• 若 $x=\frac{q}{p}$（既约分数）为方程 $a_{n}x+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ 的有理根，则有 $p\mid a_n$，$q\mid a_0$。
  • 特别地，若 $a_n=1$，则该方程有整数根。
• $p$ 为奇素数，$(a,p)=1$，$a$ 模 $p$ 的阶为 $k$ 且 $p^l\Vert a^k-1$，则 $a$ 模 $p$ 的阶为 $\{\begin{array}{l}k,t\le l\\ k{p}^{t-l},t>l\end{array}$
• 伯努利不等式：对任意整数 $n\ge 0$ 和任意实数 $x\ge -1$，有 $(1+x{)}^n\ge 1+nx$.
• 阶乘数 $\frac{(m_1+\cdots +m_k)!}{m_1!m_2!\cdots m_k!}$ 是正整数。
• 逆序对的刻画：$|A|=\{(i,j)\mid 1\le i,j\le n,(i-j)(a_i-a_j)<0\}$.

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后话

如有错误，恳请指出。