狄拉克梳状函数的傅里叶变换
时域冲激串序列
p ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) p(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)
p ( t ) p(t) p(t)称为冲激串序列。显然，它是周期的，周期为 T T T，将其展开成傅里叶级数，有
p ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) = ∑ k = − ∞ ∞ P ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 t p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} P(k\Omega_0) {\rm e}^{{\rm {\rm j}}k\Omega_0 t} p(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)=k=−∞∑∞P(kΩ0)ejkΩ0t
其中傅里叶系数
P ( k Ω 0 ) = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 δ ( t ) e − j k Ω 0 t d t = 1 T P(k\Omega_0) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) {\rm e}^{-{\rm {\rm j}}k\Omega_0 t} {\rm d}t = \frac{1}{T} P(kΩ0)=T1∫−T/2T/2δ(t)e−jkΩ0tdt=T1
于是有
∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ e j k Ω 0 t , Ω 0 = 2 π / T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} {\rm e}^{{\rm {\rm j}}k\Omega_0 t}, \quad \Omega_0 = 2\pi / T n=−∞∑∞δ(t−nT)=T1k=−∞∑∞ejkΩ0t,Ω0=2π/T
计算 p ( t ) p(t) p(t)的傅里叶变换，有
P ( j Ω ) = ∫ − ∞ ∞ 1 T ∑ k = − ∞ ∞ e j k Ω 0 t ⏟ e − j Ω t d t = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e j k Ω 0 t e − j Ω t d t = 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω − k Ω 0 ) \begin{aligned} P({\rm {\rm j}}\Omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace {\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} {\rm e}^{{\rm {\rm j}}k\Omega_0 t}} {\rm e}^{-{\rm {\rm j}}\Omega t} {\rm d}t \\ &= \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm {\rm j}}k\Omega_0 t} {\rm e}^{-{\rm {\rm j}}\Omega t} {\rm d}t \\ &= \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) \end{aligned} P(jΩ)=∫−∞∞ T1k=−∞∑∞ejkΩ0te−jΩtdt=T1k=−∞∑∞∫−∞∞ejkΩ0te−jΩtdt=T2πk=−∞∑∞δ(Ω−kΩ0)
单个复指数函数的频谱是单个谱线。
x ( t ) = e j Ω 0 t ⇔ X ( j Ω ) = 2 π δ ( Ω − Ω 0 ) x(t) = {\rm e}^{{\rm j}\Omega_0 t} \Leftrightarrow X({\rm j}\Omega) = 2\pi \delta(\Omega - \Omega_0) x(t)=ejΩ0t⇔X(jΩ)=2πδ(Ω−Ω0)
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时域信号：
- x ( t ) = e j Ω 0 t x(t) = {\rm e}^{{\rm j}\Omega_0 t} x(t)=ejΩ0t表示一个复指数信号，其中 Ω 0 \Omega_0 Ω0是角频率。
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频域表示：
- X ( j Ω ) = 2 π δ ( Ω − Ω 0 ) X({\rm j}\Omega) = 2\pi \delta(\Omega - \Omega_0) X(jΩ)=2πδ(Ω−Ω0)表示该信号在频域中的表示是一个冲激函数（Dirac delta function），位于频率 Ω 0 \Omega_0 Ω0处，幅度为 2 π 2\pi 2π。
此式为时域冲激串的傅里叶变换，变换的结果是频域的冲激串，即有
∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) ⇔ 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω − k Ω 0 ) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \Leftrightarrow \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) n=−∞∑∞δ(t−nT)⇔T2πk=−∞∑∞δ(Ω−kΩ0)
请注意，时域和频域这两个冲激串的间距 T T T和 Ω 0 \Omega_0 Ω0互为倒数。
这一对变换关系在信号处理中有着重要的应用。