状态空间模型（State‐Space Model）、传递函数和极点

在数学表达中，向量 通常用 粗体小写字母 表示，矩阵 通常用 粗体大写字母 表示。

状态空间模型

状态空间模型（State‐Space Model）将一个 线性时不变系统 （LTI, Linear Time-Invariant）的“内部状态”、“外部输入”与“观测输出”用向量和矩阵统一刻画：

$$\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t), \\ \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t) \end{gathered}$$

向量和矩阵含义

• 状态向量 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$：是一个 $n\times 1$ 的列向量，表示 系统的内部状态，$n$ 是系统的状态维数。
  • 示例：如果是一个 2D 机械系统，可能有 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\text{位置}\\ \text{速度}\end{array}\right]$。
  • 把系统此刻所有“内部变量”打包，就像把弹簧—质量系统的位置和速度一起装进一个向量里，它包含了系统当前的完整信息。
• 输入向量 $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^m$：是一个 $m\times 1$ 的列向量，表示系统的 控制输入 或 外部输入，$m$ 是输入的数量。
  • 示例：在机械系统里是推力／扭矩，在电路里是电压／电流。
• 输出向量 $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{R}}^p$：是一个 $p\times 1$ 的列向量，表示系统的 可观测输出，$p$ 是输出的数量。
  • 这是能观测到、关心的量，比如只想测位置，就由 $C$ 从完整状态中“筛”出位置分量。
  • 示例：在温度控制系统中，$\mathbf{y}$ 可能就是测得的温度。

系统矩阵的含义：

• 状态矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$：描述 系统状态之间的相互关系，决定了系统的固有动态特性（例如，极点位置、稳定性、振荡频率等）。

  • 描述系统“自身演化”规律——若无任何外部输入，状态如何因内部动力（弹簧、阻尼、惯性等）自然变化。

• 输入矩阵 $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$：描述了 不同输入 $\mathbf{u}$ 对不同状态 $\mathbf{x}$ 的影响权重。

  • 告诉我们 每一路外部输入 $u$ 如何“分配”到各个状态通道上，产生加速或力矩。

• 输出矩阵 $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$：描述了 状态向量 $\mathbf{x}$ 与输出 $\mathbf{y}$ 的关系，将完整内部状态投影到我们关心的输出上。

  • $\mathbf{C}$ 矩阵的每一行对应一个输出变量与所有状态变量之间的关系。
  • 其 第 $i$ 行即对应第 $i$ 个输出如何由所有状态分量线性组合而来。

• 直接转换（或馈通）矩阵 $\mathbf{D}\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$ 描述了 输入 $\mathbf{u}(t)$ 对 输出 $\mathbf{y}(t)$ 的 直接传递（feedthrough）或 立即响应，即在同一时刻没有经过“状态”延迟就能影响输出。

  • 严格本性（Strictly Proper）系统：$\mathbf{D}=0$，系统的输出必须“经过”状态动态才能对输入做出反应，传递函数 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B$ 在高频衰减为零。
  • 本性（Proper）系统：$\mathbf{D}\ne 0$，传递函数 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 在高频极限时收敛到 $D$。
  • 校正／补偿在某些控制器结构（如前馈补偿）中，设计一个合适的 $D$ 项可以预先补偿已知的输入—输出静态增益，改善稳态性能。

状态空间模型 天然支持 MIMO直接处理多输入多输出，不需像传递函数那样一一写多条关系。

$\dot{x}=Ax+Bu$ 明确指出“当前状态”与“当前输入”如何决定“当前变化率”，可方便处理非零初始条件。

状态空间模型求解

• 解析解（Analytical Solution）指的是 通过代数运算、积分、微分等数学公式推导出的显式表达式，结果通常是一个函数形式，写成 关于时间 $t$ 的表达式。

  • 有明确的闭式解 或 表达式，适用于纸面推导、公式分析；
  • 通常 无法用于复杂非线性或高维系统。

• 数值解（Numerical Solution）是通过 计算机程序/数值算法（如欧拉法、龙格库塔法、有限差分等），在 离散时间点上近似计算 出的结果。

  • 存在误差，精度依赖于时间步长和算法阶数；
  • 可以应用于几乎任意微分方程（尤其是非线性或高维系统），实际工程中使用最多。

解法类型	状态解 $\mathbf{x}(t)$	当 $\mathbf{u}(t)={\mathbf{u}}_0$ 为常值向量时	输出解 $\mathbf{y}(t)$
解析解	$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau$	$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0+{\mathbf{A}}^{-1}(e^{\mathbf{A}t}-\mathbf{I})\mathbf{B}{\mathbf{u}}_0$	$\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)$
数值解	$\mathbf{x}(t_i)$ 为一组离散时间点的近似值（如通过 Runge-Kutta 计算）	$\mathbf{x}(t_{i+1})\approx \mathbf{x}(t_i)+h\cdot \left(\mathbf{A}\mathbf{x}(t_i)+\mathbf{B}{\mathbf{u}}_0\right)$	$\mathbf{y}(t_i)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t_i)$

解析解

给定方程：$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}$，假设初始条件为 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$。解析解公式：
$$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau$$
这是利用矩阵指数法推导出来的解析解，前项是自由响应，后项是受控响应（强迫响应）。

• 自然演化 $e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0$：若从 $t=0$ 起无任何输入，系统怎样“凭借自身动力”演化到 $t$。
• 卷积累积 ${\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau$：把每一刻的输入 $\mathbf{u}(\tau )$ 按“系统记忆” $e^{\mathbf{A}(t-\tau )}$ 加权累积，得出总效果。

其中，矩阵指数定义为
$$e^{\mathbf{A}t}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\mathbf{A}t{)}^k}{k!}.$$

如果 $\mathbf{u}(t)$ 是常值输入（即 $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}$ 是一个常向量），那么数值解为：
$$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0+\left({\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}d\tau \right)\mathbf{B}\mathbf{u}=e^{\mathbf{A}t}{\mathbf{x}}_0+{\mathbf{A}}^{-1}\left(e^{\mathbf{A}t}-\mathbf{I}\right)\mathbf{B}\mathbf{u}$$

注意事项：如果 $A$ 不可逆（奇异矩阵），不能直接用 $A^{-1}$。这时要用其他方式近似积分，比如数值方法（Runge-Kutta）。

推导过程

• 齐次解（零输入响应）：当 $u=0$ 时，系统变为齐次，
  $${\dot{x}}_h(t)=A{x}_h(t)$$ 其解为： $$x_h(t)=e^{At}x(0)$$
• 特解（零状态响应）：由于 $u$ 为常量，特解为，
  $$x_p(t)={\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bud\tau$$ 因为 $A$ 是常矩阵，且 $u$ 为常量，可得： $$x_p(t)=\left({\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}d\tau \right)Bu=\left({\int }_0^t{e}^{As}ds\right)Bu$$
  令 $s=t-\tau$，则： $${\int }_0^t{e}^{As}ds=A^{-1}(e^{At}-I)$$ 因此，特解为： $x_p(t)=A^{-1}(e^{At}-I)Bu$
• 将齐次解与特解相加，得到总解：
  $$x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{At}x(0)+A^{-1}(e^{At}-I)Bu$$

状态空间到传递函数

我们从线性时不变系统（LTI）的状态空间模型开始：
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t),\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)$$

取 零初始条件 $\mathbf{x}(0)=0$，对上式两边进行 拉普拉斯变换 L { ⋅ } \mathcal{L}\{\cdot\} L{⋅}，就得到了：
$$\begin{gathered} s\mathbf{X}(s)=\mathbf{A}\mathbf{X}(s)+\mathbf{B}\mathbf{U}(s) \\ \Rightarrow \\ (s\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}(s)=\mathbf{B}\mathbf{U}(s) \end{gathered}$$

进一步得出：
$$\mathbf{X}(s)=(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s)$$

再代入输出方程：
$$\mathbf{Y}(s)=\mathbf{C}\mathbf{X}(s)=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s)$$

我们将系统的 输入 $\mathbf{U}(s)$ 与 输出 $\mathbf{Y}(s)$ 的关系写成如下形式：
$$\mathbf{G}(s)=\frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)}=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}$$

这个 $\mathbf{G}(s)$ 就是系统的 传递函数矩阵（Transfer Function Matrix），它描述了每个输入如何影响每个输出 —— 是一个 从频域角度刻画系统行为的工具。

传递函数中的项 $(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}$ 是一个 矩阵的逆，它的存在依赖于：
$$\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})\ne 0$$

因此，若 $\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0$ 就表示系统传递函数 $\mathbf{G}(s)$ 的某些分量出现了 极点（即系统响应趋于无穷大）。这时对应的 $s$ 值是 系统矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值。

可控性与可观性

• 可控性（Controllability） 系统 从任一初始状态驱动到任一目标状态的能力。判断条件：可控性矩阵

  $$\mathcal{C}=[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]$$

  若 $\mathrm{rank}(\mathcal{C})=n$，系统可控。

• 可观性（Observability） 是否能从输出序列推断出初始状态。判断条件：可观性矩阵

  $$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right],$$

  若 $\mathrm{rank}(\mathcal{O})=n$，系统可观。

状态空间中的极点

在状态空间模型中：

$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u},\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u}$$

系统的极点（Poles），就是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值（Eigenvalues）。也就是满足：

$$\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0$$

的那些 $s$ 值。

极点意味着什么？ 把极点看成一个物理系统“天生的频率特性”。比如一个弹簧-质量系统的震动频率，就由它的质量和刚度决定，对应的就是极点。

1. 系统的固有动态行为
   极点（Poles） 是 系统的本征频率或固有动态特性，反映了系统在 无输入时（自由响应） 如何自然地演化。
   比如你把弹簧系统拨一下，然后放手，它怎么震动、震荡多久、会不会越来越剧烈——全由极点决定。
2. 稳定性
   • 如果 所有极点 的 实部 < 0：系统 稳定（响应会自然衰减）。
   • 如果 存在 极点 实部 > 0：系统不稳定（响应会发散）。
   • 如果极点 实部 = 0 且为简单极点：边界稳定（比如无阻尼震荡）。
   • 极点有 虚部 → 系统振荡。
3. 响应速度
   • 极点的 实部越小（越负），响应越慢；
   • 实部越大（更靠近右侧），系统响应越快或越激烈。

一个二阶系统（弹簧-质量）：
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x=u(t)$$
转换为状态空间后，它的极点为：
$$s=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$
在 s 平面上（复平面），这个复数对极点的实部和虚部决定：

• 衰减速度（实部）
• 震荡频率（虚部）

示例

一个简单的例子

参考：State Space Representations of Linear Physical Systems

考虑一个由单个四阶微分方程表示的四阶系统，该方程具有输入 $x$ 和输出 $z$。

我们可以定义 4 个新变量，$q_1$ 到 $q_4$。

但是，

现在，我们可以将 4 阶微分方程重写为 4 个一阶方程，

这可以简洁地写成状态空间格式，

其中，

从系统图（电气系统）开发状态空间模型

要为电气系统开发状态空间系统，尝试选择 电容器的电压和电感器的电流作为状态变量。回忆一下，

如果我们可以写出电感两端的电压方程，那么当我们除以电感时，它就变成了状态方程。

即，如果我们有一个关于 $e_{\text{inductor}}$ 的方程，除以 $L$，它就变成了关于 $\frac{\text{d}{i}_{\text{inductor}}}{\text{d}t}$ 的方程，这是我们状态变量之一。

同样，如果我们能写出通过电容的电流方程，并除以电容，它就变成了关于 $e_{\text{capacitor}}$ 的状态方程。

这最好通过一个例子来说明。推导出下图所示系统的状态空间模型。输入是 $i_a$ ，输出是 $e_2$。

该系统有三个储能元件，因此我们预计有三个状态方程。尝试选择 $i_1$、$i_2$ 和 $e_1$ 作为状态变量。现在我们 想要它们的导数方程。

• 电感 $L_2$ 两端的电压是 $e_1$ （这是我们状态变量之一）。
  
  因此，我们第一个状态变量方程是，
  
• 如果我们将电流求和到标记为 $n_1$ 的节点，我们得到，
  
  该方程包含我们的输入（$i_a$）、两个状态变量（$i_{L2}$ 和 $i_{L1}$）以及通过电容器的电流。因此，我们可以得到第二个状态方程，
  
• 我们的第三个，也是最后一个状态方程，是通过将 $L_1$ 上的电压（即 $e_2$ ）用我们的其他状态变量表示得到的，
  
• 我们还需要一个输出方程：
  

因此，我们的状态空间表示变为

这种方法并不总是容易得到一组状态方程。在某些情况下，开发传递函数模型并将其转换为状态空间模型更容易。

二阶质量-弹簧系统（second-order mass-spring system）

一个经典的质量-弹簧（可带阻尼）系统的运动微分方程为：

$$m\ddot{q}(t)+d\dot{q}(t)+kq(t)=u(t)$$

• $q(t)$：质量块的位置（系统的输出）
• $m$：质量块的质量
• $d$：阻尼系数（无阻尼时 $d=0$）
• $k$：弹簧刚度
• $u(t)$：系统所受的外力（输入）

我们定义状态变量为：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}q\\ \dot{q}\end{array}\right]$$

根据微分方程可得：

$$\begin{gathered} {\dot{x}}_1=x_2, \\ {\dot{x}}_2=-\frac{k}{m}{x}_1-\frac{d}{m}{x}_2+\frac{1}{m}u \end{gathered}$$

用矩阵形式写出状态空间模型为：

$$\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}=\underset{\mathbf{A}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& -\frac{d}{m}\end{array}\right]}}\mathbf{x}+\underset{\mathbf{B}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{m}\end{array}\right]}}u \\ y=\underset{\mathbf{C}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]}}\mathbf{x}+\underset{\mathbf{D}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]}}u \end{gathered}$$

• $\mathbf{A}$：描述状态之间的动态关系
• $\mathbf{B}$：描述输入对状态变化的影响
• $\mathbf{C}$：提取输出（我们这里只观测位移）
• $\mathbf{D}=0$：表示没有输入直接传递到输出（无“直通项”）

无阻尼时（$d=0$），矩阵 $\mathbf{A}$ 简化为：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& 0\end{array}\right]$$