动态规划（3）学习方法论：构建思维模型

引言

动态规划是算法领域中一个强大而优雅的解题方法，但对于许多学习者来说，它也是最难以掌握的算法范式之一。与贪心算法或分治法等直观的算法相比，动态规划往往需要更抽象的思维和更系统的学习方法。在前两篇文章中，我们介绍了动态规划的基础概念、原理以及问题建模与状态设计的艺术。
本文聚焦于动态规划的学习方法论，帮助读者构建动态规划的思维模型，从而更系统、更高效地掌握这一强大的算法工具。

动态规划的思维框架构建

思维框架的重要性

在学习动态规划时，建立一个清晰的思维框架至关重要。这个框架不仅能帮助我们系统地理解动态规划的核心概念，还能为我们解决各类动态规划问题提供一个通用的思考路径。

动态规划的五步法

我们可以将动态规划问题的解决过程归纳为以下五个步骤：

1. 确定问题是否适合用动态规划解决

   • 检查问题是否具有最优子结构
   • 检查问题是否存在重叠子问题
   • 检查问题是否可以分解为子问题
   • 检查问题是否满足无后效性

2. 定义状态

   • 明确状态的含义
   • 确定状态的维度
   • 设计状态的表示方式

3. 推导状态转移方程

   • 分析状态之间的关系
   • 找出状态转移的规律
   • 用数学公式表达状态转移

4. 确定边界条件和初始状态

   • 找出最简单的子问题
   • 确定这些子问题的解
   • 设置初始状态的值

5. 确定计算顺序并实现

   • 决定是自顶向下还是自底向上
   • 确保计算顺序满足依赖关系
   • 编写代码实现算法

这个五步法提供了一个系统的思考框架，帮助我们将复杂的动态规划问题分解为可管理的步骤。

思维框架的应用示例

让我们以经典的"爬楼梯"问题为例，应用这个五步法：

问题描述：假设你正在爬楼梯，需要n阶才能到达楼顶。每次你可以爬1或2个台阶，问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

应用五步法：

1. 确定问题是否适合用动态规划解决

   • 最优子结构：爬到第n阶的方法数可以由爬到第n-1阶和第n-2阶的方法数推导出来
   • 重叠子问题：计算爬到第n阶的方法数时，会重复计算爬到第n-1阶、第n-2阶等的方法数
   • 问题可分解：爬到第n阶可以分解为先爬到第n-1阶再爬1阶，或先爬到第n-2阶再爬2阶
   • 无后效性：爬到第i阶的方法数只与爬到第i-1阶和第i-2阶的方法数有关，与更早的状态无关

2. 定义状态

   • 状态含义：dp[i]表示爬到第i阶的不同方法数
   • 状态维度：一维，只需要记录阶数
   • 状态表示：使用一维数组dp[0…n]

3. 推导状态转移方程

   • 分析：爬到第i阶可以从第i-1阶爬1阶到达，或从第i-2阶爬2阶到达
   • 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

4. 确定边界条件和初始状态

   • 边界条件：dp[1] = 1（爬到第1阶只有1种方法），dp[2] = 2（爬到第2阶有2种方法）
   • 初始状态：dp[0] = 1（虽然没有第0阶，但设为1便于计算）

5. 确定计算顺序并实现

   • 计算顺序：自底向上，从dp[1]和dp[2]开始，依次计算dp[3], dp[4], …, dp[n]
   • 实现代码：

def climb_stairs(n):if n <= 2:return ndp = [