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MIMO 检测(2)--噪声白化

backend 2025/5/13 10:32:11

噪声白化的目的主要是将色噪声转换为不相关的白噪声,即 $E(\mathbf{uu}^H)=I$ ， $\mathbf{u}$ 表示天线接收到的噪声向量 $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ 假设接收端最大4天线接收。白化操作主要是寻找一个 $W$ 矩阵使得 $E(\mathbf{Wu(Wu)}^H)=I$ 。

由于 $E(\mathbf{uu}^H)=R_{uu}$ 是个对角方阵， $R_{uu}=R_{uu}^{H}$ 。工程上一般都是假定 $R_{nn}$ 都是正定的，如果不是正定也会将其处理成正定。正定矩阵的顺序主子式 $\bigtriangleup_{k}>0$ ,且特征值 $\lambda >0$ .

1，基于SVD分解的噪声白化

基于上述假设噪声协方差矩阵经过SVD分解： $\mathbf{R_{uu}=U\sum U^T}$ ,其中 $\sum$ 为协方差矩阵特征值构成的对角矩阵。由于前面已经假设 $\mathbf{R_{uu}}$ 正定，所以 $\sum$ 的元素都是大于0的。

$\mathbf{R_{uu}=U\sum ^\frac{1}{2}\sum ^\frac{1}{2}U^H=(U\sum ^\frac{1}{2})(U\sum ^\frac{1}{2})^H}$

由上可得 $\mathbf{\mathbf{R_{uu}^\frac{1}{2}=U\sum ^\frac{1}{2}}}$ ，可令 $\mathbf{W=R_{uu}^{-\frac{1}{2}}}=(U\sum ^\frac{1}{2})^{-1}$ .

$\mathbf{\mathbf{E({Wu(Wu)}^H)}=E\left \{ R_{uu}^{-\frac{1}{2}} u (R_{uu}^{-\frac{1}{2}} u)^H \right \}=E\left \{ R_{uu}^{-\frac{1}{2}} u u^H (R_{uu}^{-\frac{1}{2}})^H \right \}}$

$\mathbf{R_{uu}^{-\frac{1}{2}}E\left \{ uu^H \right \}(R_{uu}^{-\frac{1}{2}})^H=R_{uu}^{-\frac{1}{2}}R_{uu}(R_{uu}^{-\frac{1}{2}})^H=R_{uu}^{-\frac{1}{2}}R_{uu}^{\frac{1}{2}} (R_{uu}^{\frac{1}{2}})^H (R_{uu}^{-\frac{1}{2}})^H=I}$

如上白化后的干扰 $\mathbf{u}$ 统计协方差矩阵为单位阵。

2，基于Cholesky 分解的噪声白化

Cholesky 成立的条件是 $\mathbf{R_{uu}}$ 是正定的，即 $\mathbf{R_{nn}=LL^H}$ . 乔伊斯分解可将矩阵分解为三角矩阵的乘积且两个矩阵是相同的。乔伊斯分解也的结果也是噪声协方差矩阵的一个平方根。同样如上令 $W=L^{-1}$ ,也可将噪声白化。由于Cholesky分解比SVD分解简单，所以工程上可能Cholesky 比SVD分解用的更多。