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【TUST“码蹄杯”编程之星】4.30 每日一题

backend 2025/5/2 6:33:45

题目要求

计算长度为 2n的排列中，满足以下条件的排列数目（模 1e9+7）：

至少有 n个相邻位置满足前一个数小于后一个数。

例子解析：
当 n = 1 时，只有一种排列满足条件：[1, 2]。在排列 [1, 2] 中，p₁ < p₂，并且有一个 i = 1 满足条件。由于 1 ≥ n，这个排列应该被计入。在排列 [2, 1] 中，p₁ > p₂。因为 0 < n，这个排列不应被计入。

当 n = 2 时，有 12 种排列：[1, 2, 3, 4]、[1, 2, 4, 3]、[1, 3, 2, 4]、[1, 3, 4, 2]、[1, 4, 2, 3]、[2, 1, 3, 4]、[2, 3, 1, 4]、[2, 3, 4, 1]、[2, 4, 1, 3]、[3, 1, 2, 4]、[3, 4, 1, 2]、[4, 1, 2, 3]。

前置知识：快速幂，乘法逆元，阶乘取模，数学思维

输入格式

一行一个整数 n。

输出格式q

输出结果模 1e9+7 后的值

输入数据：

6666

实现步骤

1.操作观察

在长度为 2n 的排列中，要求至少有 n 个相邻位置满足前一个数小于后一个数

在长度为 2n 的排列中，总共有 2n-1 个相邻位置，每个位置要么升序要么降序。关键性质是：
如果将排列中的每个数 i 变为 (2n+1-i)，那么原本的升序位置会变成降序位置，反之亦然。这种变换操作建立了满足条件排列与不满足条件排列之间的一一对应关系。
因此，在全部 2n! 个排列中，恰好一半满足"至少有 n 个升序位置"的条件，答案就是 (2n!)/2。

需要计算阶乘后取模，并处理除以 2 的操作

乘法逆元主要用于解决模运算中的除法问题。在模运算中，我们不能直接进行除法运算，但可以通过乘以逆元来实现同样效果

2.实现思路

输入n
使用循环计算 2n! 并对 10^9+7 取模
使用快速幂计算 2 的乘法逆元
将阶乘与逆元相乘并取模，得到最终结果
输出res即可。

代码示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef __int128_t i128;
const int M = 1e9 + 7;i64 quick_pow(i64 a, i64 b)
{i64 res = 1;while (b){if (b & 1)res = (res * a) % M;a = (a * a) % M;b >>= 1;}return res;
}void solve()
{int n;cin >> n;i64 fac = 1;for (int i = 1; i <= 2 * n; i++){fac = (fac * i) % M;}i64 inv_2 = quick_pow(2, M - 2); // 费马小定理计算乘法逆元i64 res = (fac * inv_2) % M;cout << res << endl;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);solve();return 0;
}