1.6二重积分

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引言

二重积分涉及积分区域分析、对称性应用、坐标系选择等关键技巧。本文系统梳理3大考点，结合公式速查与实战示例，助你高效突破二重积分难点！

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考点一：二重积分的性质与概念

1️⃣ 几何意义

二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 表示：

• 体积：当 $f(x,y)\ge 0$ 时，积分值为曲面 $z=f(x,y)$ 与区域 $D$ 围成的体积。
• 面积：当 $f(x,y)=1$ 时，积分值为区域 $D$ 的面积。

2️⃣ 对称性

(1) 普通对称性

对称轴/面	条件	结论
关于 $x$ 轴对称	$f(x,-y)=-f(x,y)$	积分值为0（奇函数）
	$f(x,-y)=f(x,y)$	积分值为2倍上半区域积分
关于 $y$ 轴对称	$f(-x,y)=-f(x,y)$	积分值为0（奇函数）
	$f(-x,y)=f(x,y)$	积分值为2倍右半区域积分

示例：
计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，其中 $D$ 关于 $y$ 轴对称。
解：因 $f(-x,y)=(-x)y=-xy=-f(x,y)$，积分值为0。

(2) 轮换对称性

条件：积分区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称。
结论：
$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$$
示例：
计算 ${\iint }_D(x+y)d\sigma$，其中 $D$ 由 $x^2+y^2\le 1$ 围成。
解：由轮换对称性得 ${\iint }_{D}xd\sigma ={\iint }_{D}yd\sigma$，故积分值为 $2{\iint }_{D}xd\sigma =0$（奇函数对称性）。

3️⃣ 其他性质

性质	数学表达	说明
线性性	${\iint }_D[af(x,y)+bg(x,y)]d\sigma =a{\iint }_{D}fd\sigma +b{\iint }_{D}gd\sigma$	积分与常数可交换
可加性	${\iint }_{D_1\cup D_2}fd\sigma ={\iint }_{D_1}fd\sigma +{\iint }_{D_2}fd\sigma$	区域不重叠时成立

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考点二：二重积分的计算

1️⃣ 计算步骤

1. 画积分域：描出关键点，确定区域形状（矩形、三角形、圆形等）。
2. 对称性分析：判断是否可简化计算（如奇偶性、轮换对称性）。
3. 选择坐标系：
   • 直角坐标系：适用于矩形、三角形区域。
   • 极坐标系：适用于圆形、扇形区域（转换公式：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$）。
4. 确定积分次序：
   • X型区域：先积 $y$ 后积 $x$，形如 $a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$。
   • Y型区域：先积 $x$ 后积 $y$，形如 $c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$。

2️⃣ 示例：极坐标转换

题目：计算 ${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}d\sigma$，其中 $D$ 由 $x^2+y^2\le 2y$ 围成。
解：

1. 区域 $D$ 是圆心在 $(0,1)$，半径1的圆。
2. 极坐标转换：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，方程变为 $r\le 2\sin \theta$。
3. 积分范围：$\theta \in [0,\pi ],r\in [0,2\sin \theta ]$。
4. 计算：
   $${\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\sin \theta }r\cdot rdrd\theta ={\int }_0^{\pi }{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{2\sin \theta }d\theta =\frac{8}{3}{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta =\frac{32}{9}$$

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考点三：二重积分交换积分次序

1️⃣ 交换条件

场景	操作方法	示例
题干提示交换次序	直接交换 $x$ 和 $y$	${\int }_0^1{\int }_{x^2}^{1}f(x,y)dydx\to {\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{y}}f(x,y)dxdy$
被积函数复杂	选择更易积分的次序	${\int }_0^1{\int }_0^y{e}^{x^2}dxdy\to {\int }_0^1{\int }_x^1{e}^{x^2}dydx={\int }_0^1(1-x)e^{x^2}dx$
对累次积分求导	交换次序简化导数计算	$\frac{d}{dx}{\int }_0^x{\int }_0^{y}f(t)dtdy={\int }_0^{x}f(y)dy$

2️⃣ 关键技巧

• 画图辅助：明确积分区域边界，避免次序错误。
• 变量替换：交换次序时注意调整积分限。

示例：
原积分 ${\int }_0^1{\int }_x^1\frac{\sin y}{y}dydx$，交换次序后为 ${\int }_0^1{\int }_0^y\frac{\sin y}{y}dxdy={\int }_0^1\sin ydy=1-\cos 1$。

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公式速查表

类型	公式/方法	适用场景
极坐标转换	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,d\sigma =rdrd\theta$	圆形、扇形区域
对称性简化	奇函数对称区域积分值为0	含奇偶函数的积分
交换积分次序	重写积分限，调整积分变量	累次积分难以计算时

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实战技巧

1. 画图优先：复杂区域需先描点确定边界方程。
2. 对称性优先：奇偶性可大幅简化计算。
3. 极坐标敏感：遇到 $\sqrt{x^2+y^2}$ 或圆形区域时优先尝试极坐标。

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总结：掌握二重积分的核心在于灵活应用对称性、坐标系选择和积分次序调整。结合几何意义与实战技巧，轻松应对复杂积分问题！ 🚀

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