MIMO-OFDM ISAC Waveform Design for Range-Doppler Sidelobe Suppression

上文引用的波束赋形设计仅仅关注发射信号的空间二阶统计特性，而没有考虑到波形的时间特性或随机信息符号对雷达感知性能的影响。具体而言，雷达系统的性能在很大程度上取决于发射波形的「模糊函数」（ambiguity function），即时频自相关函数。为了获得理想的图钉状模糊函数，各种具有良好时间相关特性的确定性序列，例如扎多夫-朱 (Zadoff-Chu, ZC) 序列 [22]，被广泛应用于雷达系统设计中 [23]。另一方面，通信信号被设计得尽可能随机以增加信息传输量，而当用于通信感知一体化 (ISAC) 系统时，这类信号会在距离-多普勒平面上的模糊函数中产生高旁瓣 [24], [25]。由于模糊函数代表了用于回波信号处理的匹配滤波器的输出，高旁瓣会导致弱目标被遮蔽并增加虚警 [26]。

解决随机信息符号对雷达旁瓣影响的典型方法有两种。

• 首先，文献 [11] 提出了一种基于倒易滤波（reciprocal filtering-based）的方法来代替匹配滤波（matched filtering），该方法在 OFDM 雷达接收机的子载波域和符号域上都执行逐元素的除法。如果雷达接收机完全知晓发射的符号，这一步可以有效消除随机符号的影响。然而，倒易滤波会增强噪声功率，从而反过来恶化雷达感知性能 [27]。此外，在资源占用有限的情况下，未使用的时频资源会导致模糊函数中出现高旁瓣，这个问题在 [28], [29] 中已有研究。

• 第二种方法是，文献 [30] 提出发射一种由预编码的随机通信符号和确定性的雷达探测序列组成的双功能波形。这两种功能和时间特性不同的信号，通过利用目标和用户之间不同的空间信道，经由波束赋形被结合在一起。波束赋形减轻了通信和感知信号之间的干扰，并能处理性能上的权衡。尽管这个概念很简单，但该方法的整体效果不如一体化设计。特别是在复杂场景下，例如当目标和用户彼此靠近时，通信和雷达信号之间的干扰无法被完全消除。在这种情况下，雷达回波仍会受到随机通信符号的影响，导致高旁瓣电平并恶化雷达感知性能。

总而言之，目前最先进的通信感知一体化 (ISAC) 波形设计未能有效解决通信信号随机性对距离-多普勒感知性能的影响，而这对于雷达检测和距离/速度估计是一个至关重要的因素。

II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

其中 $\mathbf{\chi }\in {\mathbb{C}}^{N_c\times N_s}$ 是距离-多普勒图，${\mathbf{F}}_{N_c}\in {\mathbb{C}}^{N_c\times N_c}$ 表示归一化的离散傅里叶变换 (DFT) 矩阵。然后，可以通过在距离-多普勒图中搜索峰值来执行目标检测和距离-速度参数估计，例如，使用恒虚警率 (CFAR) 检测器。

因此，高质量的雷达感知在很大程度上依赖于实现低的距离-多普勒旁瓣电平和低的噪声功率电平 (即高信噪比 SNR)。在下一小节中，我们将介绍两个用于量化距离-多普勒旁瓣电平和接收信噪比的度量，波形设计可以基于这两个度量进行。

C. Radar Performance Metric

我们从 (11) 中可以看出，距离-多普勒图的旁瓣基本上由发射波形 $\mathbf{X}$ 决定，而匹配滤波器输出的有效性可以通过检查 $\mathbf{X}$ 的模糊函数来评估 [41]。模糊函数的距离-多普勒旁瓣电平是评估雷达信号分析和波形设计中目标检测和参数估计性能的关键指标 [42]。例如，低的距离-多普勒旁瓣会使雷达不易产生虚警或检测错误 [43]。因此，我们将采用发射波形的模糊函数来分析距离-多普勒旁瓣的特性，并设计波形来抑制它们。在下文中，我们将推导 MIMO-OFDM 信号的模糊函数以及相应的距离-多普勒积分旁瓣电平 (ISL) 的表达式，这将是我们选择的用于量化旁瓣性能的度量。

模糊函数本质上是发射信号的 时频复合自相关函数，其定义如 [44] 所示

$$\chi (\tau ,f_d)\triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }{\tilde{x}}_0(t){\tilde{x}}_0^{\ast }(t+\tau )e^{j2\pi f_{d}t}dt\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中 ${\tilde{x}}_0(t)={\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0)\tilde{\mathbf{x}}(t)$ 是对已知方位角 ${\theta }_0$ 进行波束赋形后的 OFDM 信号。在本文中，我们假设往返延迟小于循环前缀 (CP) 的持续时间。因此，我们可以合理地使用 OFDM 信号的离散周期模糊函数来简化推导 [45], [46]，其表达式为

$$\chi (l,\nu )=\sum _{m=0}^{N_s-1}\sum _{p=0}^{N_c-1}{\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0){\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}({\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0){\tilde{\mathbf{x}}}_{p+l,m}{)}^{\ast }{e}^{j2\pi \nu \frac{m}{N_s}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

其中 $l\in N_c$ 和 $\nu \in N_s$ 分别是距离和多普勒单元的索引。向量 ${\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}$ 代表发射的时域 OFDM 信号 $\tilde{\mathbf{x}}(t)$ 的第 $p$ 个采样，由下式给出

$${\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}=\frac{1}{\sqrt{N_c}}\sum _{n=0}^{N_c-1}{\mathbf{x}}_{n,m}{e}^{j2\pi p\frac{n}{N_c}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

将 (14) 代入 (13)，OFDM 信号的离散周期模糊函数可以表示为

$$\begin{array}{rl}\chi (l,\nu )& =\frac{1}{N_c}\sum _{m=0}^{N_s-1}\sum _{p=0}^{N_c-1}\sum _{n=0}^{N_c-1}({\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0){\mathbf{x}}_{n,m})({\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0){\mathbf{x}}_{n,m}{)}^{\ast }\times e^{-j2\pi l\frac{n}{N_c}}{e}^{j2\pi \nu \frac{m}{N_s}}\\ & =\sum _{m=0}^{N_s-1}\sum _{n=0}^{N_c-1}{\mathbf{x}}_{n,m}^H\mathbf{A}{\mathbf{x}}_{n,m}{e}^{-j2\pi l\frac{n}{N_c}}{e}^{j2\pi \nu \frac{m}{N_s}}\\ & =\sum _{m=0}^{N_s-1}{\mathbf{x}}_m^H\tilde{\mathbf{A}}{\mathbf{D}}_l^{\ast }{\tilde{\mathbf{A}}}^H{\mathbf{x}}_m{e}^{j2\pi \nu \frac{m}{N_s}}\\ & ={\mathbf{x}}^H\tilde{\mathbf{A}}({\mathbf{D}}_{\nu }\otimes {\mathbf{D}}_l^{\ast }){\tilde{\mathbf{A}}}^H\mathbf{x},\end{array}\text{\hspace{1em}(15a)(15b)(15c)(15d)}$$

这里我们定义

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& \triangleq {\mathbf{a}}_T({\theta }_0){\mathbf{a}}_T^H({\theta }_0),\tilde{\mathbf{A}}\triangleq {\mathbf{I}}_{N_s{N}_c}\otimes {\mathbf{a}}_T({\theta }_0),\\ {\mathbf{x}}_m& \triangleq [{\mathbf{x}}_{0,m}^T,{\mathbf{x}}_{1,m}^T,\dots ,{\mathbf{x}}_{N_c-1,m}^T{]}^T\in {\mathbb{C}}^{N_c{N}_t},\\ \mathbf{x}& \triangleq [{\mathbf{x}}_0^T,{\mathbf{x}}_1^T,\dots ,{\mathbf{x}}_{N_s-1}^T{]}^T\in {\mathbb{C}}^{N_s{N}_c{N}_t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(16a)(16b)(16c)}$$

理想情况下，模糊函数应在 $(l=0,\nu =0)$ 处有一个窄的主瓣峰值，并在 $(l\ne 0,\nu \ne 0)$ 处具有低旁瓣，以提供良好的雷达感知性能。虽然确定性波形（如 chirp 信号或 ZC 序列）在雷达系统中通常能提供出色的低旁瓣性能，但通信感知一体化 (ISAC) 中的双功能波形还必须传递信息，因此会有一个很强的随机分量。除非进行适当的控制，否则这个随机信号分量不可避免地会表现出更高的旁瓣电平。因此，ISAC 波形设计中最重要的考虑是如何控制由嵌入的通信数据引起的旁瓣，以避免虚警，并能够检测到那些可能被旁瓣掩盖的弱目标。为了量化模糊函数的距离-多普勒旁瓣电平，积分旁瓣电平 (ISL) 是最常用的度量，其定义如下

$$\begin{array}{rl}{\xi }_{\text{ISL}}& \triangleq \sum _{\nu =0}^{N_s-1}\sum _{l=0}^{N_c-1}|\chi (l,\nu ){|}^2-|\chi (0,0){|}^2\\ & =\sum _{\nu =0}^{N_s-1}\sum _{l=0}^{N_c-1}|{\mathbf{x}}^H\tilde{\mathbf{A}}({\mathbf{D}}_{\nu }\otimes {\mathbf{D}}_l^{\ast }){\tilde{\mathbf{A}}}^H\mathbf{x}{|}^2-|{\mathbf{x}}^H\tilde{\mathbf{A}}{\tilde{\mathbf{A}}}^H\mathbf{x}{|}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(17a)(17b)}$$

我们应该强调，除了发射波形引入的距离-多普勒旁瓣外，接收到的回波信号也会被噪声所扭曲。抑制距离-多普勒旁瓣和保持足够的雷达信噪比 (SNR) 对实现卓越的感知性能都至关重要。然而，由于缺乏关于噪声功率和目标雷达散射截面 (RCS) 的信息，测量雷达接收信噪比具有挑战性。

考虑到雷达系统中的这一现实，照射到目标的功率可以作为一个替代度量，因为增加朝向目标的发射功率将按比例提高接收信噪比。因此，除了积分旁瓣电平 (ISL) 之外，我们还在波形设计中考虑了目标照射功率，以保证一个满意的雷达接收信噪比水平。具体来说，我们采用目标方向上的发射波束方向图增益作为接收信噪比的代理指标。对于时域发射信号 ${\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}$，一个 OFDM 帧期间的总目标照射功率可以写为

$$\begin{array}{rl}{P}_{\text{IL}}& =\sum _{m=0}^{N_s-1}\sum _{p=0}^{N_c-1}{\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}^H\mathbf{A}{\tilde{\mathbf{x}}}_{p,m}\\ & =\sum _{m=0}^{N_s-1}{\tilde{\mathbf{x}}}_m^H({\mathbf{I}}_{N_c}\otimes \mathbf{A}){\tilde{\mathbf{x}}}_m\\ & ={\tilde{\mathbf{x}}}^H({\mathbf{I}}_{N_s{N}_c}\otimes \mathbf{A})\tilde{\mathbf{x}}\\ & ={\mathbf{x}}^H\tilde{\mathbf{F}}({\mathbf{I}}_{N_s{N}_c}\otimes \mathbf{A}){\tilde{\mathbf{F}}}^H\mathbf{x},\end{array}\text{\hspace{1em}(18a)(18b)(18c)(18d)}$$

这里我们定义

$$\begin{array}{rl}{\tilde{\mathbf{x}}}_m& \triangleq ({\mathbf{F}}_{N_c}^H\otimes {\mathbf{I}}_{N_t}){\mathbf{x}}_m=[{\tilde{\mathbf{x}}}_{0,m}^T,\dots ,{\tilde{\mathbf{x}}}_{N_c-1,m}^T{]}^T\\ \tilde{\mathbf{F}}& \triangleq {\mathbf{I}}_{N_s}\otimes {\mathbf{F}}_{N_c}\otimes {\mathbf{I}}_{N_t},\tilde{\mathbf{x}}\triangleq {\tilde{\mathbf{F}}}^H\mathbf{x}=[{\tilde{\mathbf{x}}}_0^T,\dots ,{\tilde{\mathbf{x}}}_{N_s-1}^T{]}^T.\end{array}\text{\hspace{1em}(19a)(19b)}$$

IV. SIMULATION RESULTS

我们首先在图 3 中展示了所提出的波形设计算法的平均收敛性能，该图显示了积分旁瓣电平 (ISL) 随着每次迭代而持续下降，并在合理的迭代次数内收敛。

接下来，我们使用图 4 中不同波形设计的模糊函数图像来评估距离-多普勒旁瓣的抑制性能。我们看到，与使用线性块级波束赋形（linear block level beamforming）的方法（即组合波形）相比，所提出的基于 SLP 的波形表现出显著更低的距离-多普勒旁瓣，这可以归因于 SLP 设计所提供的额外 时域自由度 (extra temporal DoFs)。我们还看到，正如预测的那样，两种双功能波形的旁瓣电平介于纯通信波形和纯雷达波形的旁瓣电平之间，这证明了两种功能之间的性能权衡。

接下来，我们在图 5 中绘制了所提出的波形在不同调制阶数下的模糊函数。通过适当修改基于 CI 的通信 QoS 约束 [51]，我们提出的算法可以很容易地扩展以支持更高阶的 PSK 和 QAM 调制方案。不出所料，所提出波形的旁瓣电平随着调制阶数的增高而逐渐增加，这验证了雷达感知与通信之间的基本性能权衡。尽管如此，即使采用更高阶的调制方案，所提出的波形的旁瓣电平仍显著低于纯通信波形和组合波形的旁瓣电平，如图 4 所示的 QPSK 场景中所展示的那样。这些结果证明了所提出的基于 SLP 的波形设计的普适性和旁瓣抑制有效性。