神经网络|(十六)概率论基础知识-伽马函数·中
【1】引言
前序学习进程中，已经初步了解了伽马函数，认识到nnn的阶乘计算可以转化为：
n!=n!⋅limk→+∞kn⋅k!(n+k)!=limk→+∞kn⋅k!⋅n!(n+k)!=limk→+∞kn⋅k!(n+1)(n+2)...(n+k)n!=n! \cdot lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}n!=n!⋅limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!
如果把整数nnn替换成任意实数xxx，就会有：
x!=limk→+∞kx⋅k!(x+1)(x+2)...(x+k)x!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^x\cdot k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)}x!=limk→+∞(x+1)(x+2)...(x+k)kx⋅k!
此时，只要xxx不是负整数，因为负整数会导致分母为0，上述计算式就能执行，此时阶乘形式的伽马函数被扩展到除负整数以外的所有实数。
但大家熟悉的伽马函数其实是一个指数积分形式，因此还需继续探究。
【2】证明积分式和阶乘式相等
证明∫01(−lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01(−lnt)sdt=s!
【2.1】积分变换
首先令u=−lntu=-ln tu=−lnt，有：du=−1tdtdt=−tdut=e−udu=-\frac{1}{t}dt\\ dt=-tdu \\t=e^{-u}du=−t1dtdt=−tdut=e−u
此时被积函数变换为：
(−lnt)s=us(-lnt)^s=u^s(−lnt)s=us
当t→0+t\rightarrow 0^+t→0+时，u=−lnt=+∞u=-lnt=+\inftyu=−lnt=+∞
当t→1t\rightarrow 1t→1时，u=−lnt=0u=-lnt=0u=−lnt=0
将上述变换代入积分式：
∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{+\infty}^{0}u^s(-t)du=\\ \int_{+\infty}^{0}u^s(-e^u)du=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu
【2.2】分部积分-s为正整数
当sss为正整数nnn时，积分先写作：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu
令v=un,dw=e−uduv=u^n,dw=e^{-u}duv=un,dw=e−udu，有：
dv=nun−1du,w=−e−udv=nu^{n-1}du,w=-e^{-u}dv=nun−1du,w=−e−u
此时积分式转化为：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞−∫0+∞wdv=(un(−e−u))∣0+∞+∫0+∞nun−1e−udu=0+∫0+∞nun−1e−udu=n∫0+∞un−1e−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=\\ \int_{0}^{+\infty}vdw=vw|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}wdv=\\ (u^n(-e^{-u}))|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=\\ 0+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞−∫0+∞wdv=(un(−e−u))∣0+∞+∫0+∞nun−1e−udu=0+∫0+∞nun−1e−udu=n∫0+∞un−1e−udu
这时候先暂停一下，根据前述推导有：
∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu按照这个形式，会有：
∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu=n(n−1)∫0+∞un−2e−udu=...=n(n−1)...2∫0+∞u1e−udu=n(n−1)...2⋅1∫0+∞u0e−udu=n!\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du=\\ n(n-1)\int_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-u}du=...=\\ n(n-1)...2\int_{0}^{+\infty}u^{1}e^{-u}du=\\ n(n-1)...2\cdot 1\int_{0}^{+\infty}u^{0}e^{-u}du=n!∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu=n(n−1)∫0+∞un−2e−udu=...=n(n−1)...2∫0+∞u1e−udu=n(n−1)...2⋅1∫0+∞u0e−udu=n!至此可知，当sss为正整数nnn时，
∫01(−lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01(−lnt)sdt=s!
【3】总结
当sss为正整数nnn时，
∫01(−lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01(−lnt)sdt=s!，积分式和阶乘式相等。