计算复变积分 $w = \int_0^1 (1 + it)^2 \, dt$
计算复变积分 w = ∫ 0 1 ( 1 + i t ) 2 d t w = \int_0^1 (1 + it)^2 \, dt w=∫01(1+it)2dt
问题描述
我们需要计算以下复变积分：
w = ∫ 0 1 ( 1 + i t ) 2 d t w = \int_0^1 (1 + it)^2 \, dt w=∫01(1+it)2dt
其中 i i i 是虚数单位，满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。
解题过程
直接展开被积函数
首先，我们可以展开被积函数 ( 1 + i t ) 2 (1 + it)^2 (1+it)2：
( 1 + i t ) 2 = 1 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ i t + ( i t ) 2 = 1 + 2 i t + i 2 t 2 = 1 + 2 i t − t 2 (1 + it)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot it + (it)^2 = 1 + 2it + i^2 t^2 = 1 + 2it - t^2 (1+it)2=12+2⋅1⋅it+(it)2=1+2it+i2t2=1+2it−t2
因此，积分可以写成：
w = ∫ 0 1 ( 1 + 2 i t − t 2 ) d t w = \int_0^1 (1 + 2it - t^2) \, dt w=∫01(1+2it−t2)dt
将积分拆分为实部和虚部：
w = ∫ 0 1 1 d t + ∫ 0 1 2 i t d t − ∫ 0 1 t 2 d t w = \int_0^1 1 \, dt + \int_0^1 2it \, dt - \int_0^1 t^2 \, dt w=∫011dt+∫012itdt−∫01t2dt
计算各部分积分：
- ∫ 0 1 1 d t = 1 \int_0^1 1 \, dt = 1 ∫011dt=1
- ∫ 0 1 2 i t d t = 2 i ⋅ t 2 2 ∣ 0 1 = i \int_0^1 2it \, dt = 2i \cdot \frac{t^2}{2} \Big|_0^1 = i ∫012itdt=2i⋅2t2 01=i
- ∫ 0 1 t 2 d t = t 3 3 ∣ 0 1 = 1 3 \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} ∫01t2dt=3t3 01=31
将所有部分组合起来：
w = 1 + i − 1 3 = 2 3 + i w = 1 + i - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + i w=1+i−31=32+i
MATLAB 计算代码
以下是使用 MATLAB 计算该积分的代码：
% 定义被积函数
f = @(t) (1 + 1i * t).^2;
% 数值积分
w_num = integral(f, 0, 1, 'ArrayValued', true);
% 显示结果
disp('数值积分结果:');
disp(w_num);
运行结果：
代码说明：
f = @(t) (1 + 1i * t).^2;定义了被积函数 ( 1 + i t ) 2 (1 + it)^2 (1+it)2。integral函数用于数值计算积分，'ArrayValued', true表示被积函数返回的是数组值（这里是复数）。
结论
通过直接展开，我们计算出：
w = ∫ 0 1 ( 1 + i t ) 2 d t = 2 3 + i w = \int_0^1 (1 + it)^2 \, dt = \frac{2}{3} + i w=∫01(1+it)2dt=32+i
MATLAB 数值积分结果验证了这一解析解的正确性。