直角坐标系和斜角坐标系

前情概要

笛卡尔坐标系是直角坐标系和斜角坐标系的统称。为什么会有这两种坐标系呢，教材中为什么最后只用直角坐标系呢？我们这样解释：

研究一维空间中的向量时，由于一维空间中的向量有无数条，如果我们选定一条作为基底向量 $\vec{b}$ [类似于丈量长度中的尺子一样]，那么其他的向量 $\vec{a}$ 都和这个基底向量共线，则其他向量可以表示 $\vec{a}$ $=$ $\lambda$ $\vec{b}$，此时的系数 $\lambda$ 是唯一确定的，当然若选定的基底向量不一样，那么在刻画同一个其他向量时得到的对应系数也就不一样了；

此时如果我们再将基底向量特殊化为单位向量 $\vec{e}$[类似于将刚才所用的尺子确定为标准的米尺一样]，则在刻画其他向量时得到的系数就和一维数轴上的点的坐标一致了；这样我们研究一维空间中的任意向量的运算时，就可以只关注其系数 $\lambda$，而不太关注基底向量 $\vec{e}$ 了。这样我们其实已经有了从形到数的基础，即一维向量的坐标。是不是有点感觉了，我们继续引申如下：

斜角坐标系

在研究二维空间中的向量时，由于二维空间中的向量也有无数条，为了研究的简单化，我们选定两条不共线的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 作为基底向量¹，由平面向量共面基本定理可知，这个平面内的任意一条向量 $\vec{c}$ 一定可以唯一的表示为 $\vec{c}$ $=$ $\lambda$ $\vec{b}+$ $\mu$ $\vec{b}$，此时的系数 $\lambda$ 和 $\mu$ 是唯一确定的，由于一开始并没有限定两条基底向量必须正交垂直，在此基础上形成的坐标系就是斜角坐标系，这两个有序实数也就可以称为向量 $\vec{c}$ 的坐标。

同样的，若选定的两条基底向量不一样，那么在刻画同一个其他向量时得到的对应坐标也不一样了，自然也不唯一 . 比如对向量 $\vec{c}$ 而言，若选定 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 作为基底，则其坐标假定为 $(1,2)$，但若选定 $\vec{e}$ 和 $\vec{f}$ 作为基底，则其坐标可能就成了 ( 3 , − 1 ) (3,-1)