离散数学_数理逻辑(二):命题逻辑的推理

前言

        每一件事都存在现象和本质.现象是表面,本质是内在.数学可以说是自然科学之母,是一切自然现象的本质.对于编程,表面上是在写代码,实际上是在用离散数学理解问题和解决问题.

引入

        命题逻辑的推理部分.

        "推理"在思考中占了很大比重.笔者曾经把学习方法分了两种:一是机械记忆,通常用于公理,新的概念这些无需思考只需记忆的内容.二是用现有知识,推理得到新的知识,把"新知识"变成"现有知识".推理能力是一种非常重要的能力,是智商重要的组成部分.比如有名的侦探小说中的主人公(如福尔摩斯,柯南等),都拥有强大的推理能力---当然命题逻辑的推理可能有些不同,但也值得深究.所以把推理单独列一篇贴

命题逻辑内容回顾

        命题-----一个有真值(0或1)的叙述句

        简单命题---无联结词的命题    复杂命题---有联结词的命题

        真值表---一种很朴素的工具,计算简单命题,复杂命题的真值

        联结词---¬, ∧,∨,→,↔用于建立复杂命题的符号,可递进(用复杂命题建立更复杂的命题)

        永真式---用来建立等值逻辑的工具.

        上图的过程:简单命题(p、q)得到真值,

                           复杂命题(p→q、¬p∨q)题得到真值

                           当两个复杂命题之间用等价联结词↔计算后,得到永真式,则这两个命题是等值的.

                           两个命题有等值关系则可以互换.用文字描述即从A可以推导出B,从B可以推导出A

命题逻辑推理内容

        推理的形式结构

        重要的推理定律

        判断推理正确的方法

推理的形式结构

        如图

重要的推理定律

        推理定律概念

        

        推理定律和等值式的区别:等值关系是两者可以互换(双向),推理定律是从A推导出B(单向)

        附加率/化简律/假言推理/拒取式/

        析取三段论/假言三段论/等价三段论/构造性两难    

附加率

        说明:只要A正确,那么A∨B正确

化简律

        说明:如果A∧B成立,则A和B成立

        附加:(A∨B)→B也是永真式

假言推理

        说明:当A推出B并且A为真,那么B为真

拒取式

        说明:当A推出B,且B为假,则A为假---反证法

析取三段论

        说明:当A或B成立,但A不成立或者B不成立,那么B成立或者A成立  ---排除法

假言三段论

        说明:当A推出B,B推出C,则A能推出C   ---逻辑链

等价三段论

        说明:当A等值B,B等值C,则A和C等值

构造性两难

        说明:当A推出B并且C推出D,并且A或C当中有一个成立,那么B或者D中有一个成立

判断推理正确的方法

        

        说明:1.等值演算

                2.推理演算

举例

等值演算

        

 推演

        

命题逻辑的思考

        笔者以前讲过,在计算机的硬件层面,数据是有两层含义的:地址和值.地址用于传递数据,值表示数据的含义.命题逻辑同样有这种二义性.这上面的A,B,符号¬, ∧,∨,→,↔,一方面在现实中找到对应的描述,一方面有数学上的含义.

        命题逻辑的现实含义和数学含义,在永真式下得到了贯通.当发现某个永真式成立后,建立起某种等值关系或者推理关系.用数学反哺现实,得到现实中的推理结论.先有永真式,再有推理.

        遗憾的是,不能通过学习数理逻辑的学习来提高生活中的推理能力.如前所述,先有了永真式的结果,才能得到逻辑上推理的成立.虽然理论上讲,无数种前提的组合,化成符号化的逻辑去得到结论,是有数学解的.但现实中A→B是否存在---A和B或许完全没有逻辑上的联系,这才是问题所在.

小结

        命题逻辑推理的学习