CQF预备知识：二、线性代数 -- 2.2.1 矩阵加法详解
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本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。
教程涵盖以下四个主题：
- 微积分
- 线性代数
- 微分方程
- 概率与统计
2.2.1 矩阵加法详解
一、基本概念
矩阵加法是矩阵运算中最基础的操作之一，其核心是对应元素相加。设两个矩阵 A A A 和 B B B 都是 m m m 行 n n n 列的矩阵：
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) , B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn ,B= b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2⋯⋯⋱⋯b1nb2n⋮bmn
则它们的和 A + B A + B A+B 定义为：
A + B = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ) A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} A+B= a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋱⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn
二、核心性质
-
维度要求
矩阵加法要求两个矩阵维度完全相同（即相同的行数和列数）。
若 A A A 是 m × n m \times n m×n 矩阵，则 B B B 也必须是 m × n m \times n m×n 矩阵才能相加。 -
交换律
矩阵加法满足交换律：
A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A
这一性质直接从加法定义得出，因为实数的加法满足交换律。 -
结合律
矩阵加法满足结合律：
( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A + B) + C = A + (B + C) (A+B)+C=A+(B+C)
其中 A , B , C A, B, C A,B,C 均为 m × n m \times n m×n 矩阵。
三、示例解析
示例1： 2 × 3 2 \times 3 2×3 矩阵相加
设：
A = ( 1 − 1 2 0 3 4 ) , B = ( 4 0 − 3 − 1 − 2 3 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} A=(10−1324),B=(4−10−2−33)
计算过程：
- 第1行第1列： 1 + 4 = 5 1 + 4 = 5 1+4=5
- 第1行第2列： − 1 + 0 = − 1 -1 + 0 = -1 −1+0=−1
- 第1行第3列： 2 + ( − 3 ) = − 1 2 + (-3) = -1 2+(−3)=−1
- 第2行第1列： 0 + ( − 1 ) = − 1 0 + (-1) = -1 0+(−1)=−1
- 第2行第2列： 3 + ( − 2 ) = 1 3 + (-2) = 1 3+(−2)=1
- 第2行第3列： 4 + 3 = 7 4 + 3 = 7 4+3=7
结果：
A + B = ( 5 − 1 − 1 − 1 1 7 ) A + B = \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 7 \end{pmatrix} A+B=(5−1−11−17)
示例2： 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵相加
设：
C = ( 2 − 3 1 5 − 1 2 − 1 0 3 ) , D = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) C = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} C= 25−1−3−10123 ,D= 100010001
计算过程：
- 第1行： 2 + 1 = 3 , − 3 + 0 = − 3 , 1 + 0 = 1 2+1=3,\ -3+0=-3,\ 1+0=1 2+1=3, −3+0=−3, 1+0=1
- 第2行： 5 + 0 = 5 , − 1 + 1 = 0 , 2 + 0 = 2 5+0=5,\ -1+1=0,\ 2+0=2 5+0=5, −1+1=0, 2+0=2
- 第3行： − 1 + 0 = − 1 , 0 + 0 = 0 , 3 + 1 = 4 -1+0=-1,\ 0+0=0,\ 3+1=4 −1+0=−1, 0+0=0, 3+1=4
结果：
C + D = ( 3 − 3 1 5 0 2 − 1 0 4 ) C + D = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} C+D= 35−1−300124
四、不可相加的情况
当矩阵维度不同时无法相加：
- A A A 和 B B B 是 2 × 3 2 \times 3 2×3 矩阵
- C C C 和 D D D 是 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵
因此 A + C A + C A+C, A + D A + D A+D, B + C B + C B+C, B + D B + D B+D 均无定义。
五、关键总结
- 矩阵加法是逐元素操作，要求两个矩阵维度完全相同
- 结果矩阵的每个元素是原矩阵对应位置元素之和
- 满足交换律和结合律
- 维度不匹配的矩阵无法进行加法运算
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