数学复习笔记 14

前言

和家里人交流了一下，他们还是希望我全力以赴初试，我确实也得放开了干，不要束手束脚的。好好加油。感觉公共课都没有啥压力，主要是专业课要好好加油，真不能过不了线，要是过不了线，啥都白搭了。感觉最重要就是数据结构和计组。好好学这两门吧。继续写矩阵的例题。

2.33

这个一看就是含参讨论的问题。感觉就是把行阶梯矩阵写出来，然后一个一个分析。这里应该是考虑秩的性质。一个矩阵的秩，和这个矩阵进行行变换，列变换之后的秩是一致的，一个可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，所以一个可逆矩阵乘以一个矩阵，矩阵的秩是不发生改变的。

现在就是判断一下 B 和 C 是否是可逆的矩阵。判断是否可逆，可以算行列式，行列式不等于零就是可逆的。矩阵满秩，矩阵也是可逆的。算出来 B 和 C 的行列式都不是零，所以 B 和 C 矩阵都是可逆的。然后看 B* 和 C* 是不是也是可逆的。根据万能公式，$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$，可以推导出，$$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}$$，这里因为行列式是不为零的，所以伴随矩阵的逆矩阵也是存在的。或者说，伴随矩阵也是可逆的。换句话说，矩阵是可逆的，那么它的伴随矩阵也是可逆的。因为都有公式可以表示这个伴随矩阵的逆矩阵了。所以这个题就化简成为了
$$r(A)+r(A^{\ast })=r$$，观察可以发现， A 矩阵的第三行是无效行，也就是说，A 的秩最多就是 2 了。然后可以开始讨论了。假设 a = 2, 那就是秩等于 1，伴随矩阵的秩是，根据 33 面，矩阵的秩的性质的第 8 条，可以知道伴随矩阵的秩等于零。那么排除 A and C 两个选项。

接下来考虑 r(A) = 2, 那么伴随矩阵的秩是 1，最后的答案就是 3.所以我给的答案是 D.看了一下解析，和我的分析过程是一致的。

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《憾》金玟岐

算逆矩阵的四种方法

抽象的矩阵，定义法

具体的矩阵，公式法，$$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$，行变换，分块矩阵。

2.32

这个是行和相等型的矩阵。我先转换为行列式吧。因为我要把第一列的元素提出来，但是矩阵的话，是把所有元素都提出来。这样不太行。但是这个算出来的式子是这么做的吗，有点懵逼了。确实是把行列式表示出来了，但是是一个含参数的式子，这咋整呢，难道是含参讨论吗，这题是求秩，只有两种方法，行列式或者行变换。没事，先考虑满秩的情况。

1.$$k\ne -3\&k\ne 1,r(A)=4,r(A^{\ast })=4$$
这种情况就是满秩的情况。
2.剩下的，感觉只能行变换一个一个讨论了，感觉行列式的这个不好讨论了。行变换的问题就是不能，奥，是我搞错了，矩阵行变换也可以处理行和相等的类型的问题，第一列全是相同的，同时除以这个元素，本质上就是倍乘同一列，没有任何影响，行变换不影响秩。这里有一个细节，就是一开始就直接行变换，可能会漏掉$$k\ne -3$$ 这个情况，因为直接除以这个元素，要考虑这个元素是否为零。假设为零就不能直接除以这个数字呢。假设 k = -3,代进去可以发现矩阵的有效行只有三行，那么秩就是 3，这个秩是 n - 1,那么伴随矩阵的秩是 1，然后就是剩下的情况，k = 1,这个时候，有效行只有一行，那么秩就是 1，这个时候 1 < n - 1 = 3,那么伴随矩阵的秩是 0，这三种情况是否覆盖了所有情况？好像是覆盖了所有的情况了。

看了一下解析，我分析得没啥问题。