大连理工大学选修课——图形学：第五章 二维变换及二维观察

第五章 二维变换及二维观察

二维变换

基本几何变换

图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。

平移变换

推导：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+T_x \\ {y}^{\prime }=y+T_y \end{gathered}$$

矩阵形式

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }]=[xy]\cdot \left[\begin{array}{cc}{S}_x& 0\\ 0& S_y\end{array}\right]$$

比例变换

比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。

推导（极坐标）：

$$\begin{gathered} x=r\cos \alpha y=r\sin \alpha \\ {x}^{\prime }=r\cos (\alpha +\theta )=x\cos \theta -y\sin \theta \\ {y}^{\prime }=r\sin (\alpha +\theta )=x\sin \theta +y\cos \theta \end{gathered}$$

矩阵：逆时针旋转$\theta$角

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }]=[xy]\cdot \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

平移、缩放、旋转变换的矩阵表示：

$$P^{\prime }=P\cdot T_1+T_2$$

其中Sx和Sy称为比例系数。

规范化齐次坐标

齐次坐标表示就是用$n+1$维向量表示一个$n$维向量

$$(x,y)\leftarrow (x,y,1)$$

平移：

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ T_x& T_y& 1\end{array}\right]$$

比例：

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{S}_x& 0& 0\\ 0& S_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

整体比例变换：

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& S\end{array}\right]$$

旋转变换：

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

普通变换：

$$x^{\prime }=\frac{ax+cy+l}{px+qy+s}{y}^{\prime }=\frac{bx+dy+m}{px+qy+s}$$

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}a& b& p\\ c& d& q\\ l& m& s\end{array}\right]$$

关于x轴对称

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

关于y轴对称

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

关于原点对称

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

关于$y=x$轴对称

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

关于$y=-x$轴对称

$$\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

错切变换

错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。

其变换矩阵为：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& b& 0\\ c& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

二维图形几何变换的计算

1. 点的变换

$$[x^{\prime }{y}^{\prime }1]=[xy1]\cdot \left[\begin{array}{ccc}a& b& p\\ c& d& q\\ l& m& r\end{array}\right]$$

1. 直线的变换

   $$
   \begin{bmatrix}
   x_1’&y_1’&1\
   x_2’&y_2’&1
   \end{bmatrix}

   \begin{bmatrix}
   x_1&y_1&1\
   x_2&y_2&1
   \end{bmatrix}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
   a &b &p\
   c &d &q\
   l &m &r
   \end{bmatrix}
   $$

2. 多边形的变换

复合变换

复合变换具有形式：

$$P^{\prime }=P\cdot T_1\cdot T_2\cdot T_3\cdots T_n$$

二维复合平移：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ T_{x1}+T_{x2}& T_{y1}+T_{y2}& 1\end{array}\right]$$

二维复合比例

$$\left[\begin{array}{ccc}{S}_{x1}\cdot S_{x2}& 0& 0\\ 0& S_{y1}\cdot S_{y2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

二维复合旋转

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& \sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& 0\\ -\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& \cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

相对任意一点的二维几何变换

相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：

1. 平移/旋转。
2. 针对原点进行二维几何变换。
3. 反平移/反旋转。

光栅变换

直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。

光栅平移变换：

任意角度的光栅旋转变换：

光栅比例变换：进行区域的映射处理

变换的性质：

二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=ax+by+m \\ {y}^{\prime }=cx+dy+n \end{gathered}$$

平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。

• 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性。
• 比例变换可改变图形的大小和形状。
• 错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。

二维观察

一些定义

窗口：将在用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域。

视区：将窗口映射到显示设备上的坐标（NDC）区域。

观察变换： 为了将窗口内的图形在视区中显示出来，经过将窗口到视区的变换处理。

观察坐标系： 依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义的直角坐标系。

规格化设备坐标系：将二维的设备坐标系规格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）的坐标范围内形成的坐标系。

二维观察流程：

引入了观察坐标系和规格化设备坐标系后，观察变换分为如下图所示的几个步骤：

应用程序→图形的用户坐标→观察坐标系→对窗口进行裁剪→视区(依据设备规范化坐标系定义)→设备坐标系→在图形设备上输出

整体缩放效果：

用户坐标系到观察坐标系的变换

用户坐标系到观察坐标系的变换分由两个变换步骤合成：

1. 将观察坐标系原点移动到用户坐标系原点

1. 绕原点旋转使两坐标系重合

窗口到视区的变换

将窗口内的点（xw,yw）映射到相对应的视区内的点（xv,yv）需进行以下步骤：

1. 将窗口左下角点移至用户系统系的坐标原点。
2. 针对原点进行比例变换。
3. 进行反平移。

裁剪

定义：在观察坐标系下对窗口进行裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗口外的图形。

已知：

1. 窗口边界wxl，wxr，wyb，wyt的坐标值。
2. 直线段端点p1p2的坐标值x1,y1,x2,y2。

实交点：直线段与窗口矩形边界的交点。

虚交点：处于直线段延长线或窗口边界延长线上的交点。

Cohen-Sutherland 算法

编码：对于任一端点(x,y)，根据其坐标所在的区域，赋予一个4位的二进制码D3D2D1D0。

编码规则如下：

1. 若x<wxl，D0=1，否则D0=0；
2. 若x>wxr，D1=1，否则D1=0；
3. 若y<wyb，D2=1，否则D2=0；
4. 若y>wyt，D3=1，否则D3=0。

步骤：

1. 判断：裁剪一条线段时，先求出直线段端点p1和p2的编码code1和code2“
   a. 若code1=code2=0，对直线段简取之；
   b. 若code1&code2≠0，对直线段简弃之；

2. 求交点：若上述判断条件不成立，则需求出直线段与窗口边界的交点。

   a. 左、右边界交点的计算：y = y1 + k(x - x1)；
   b. 上、下边界交点的计算：x = x1 + (y-y1)/k。

   (其中，k＝（y2-y1）/（x2-x1）)

（+）用编码方法实现了对完全可见和不可见直线段的快速接受和拒绝；
（–）求交过程复杂，有冗余计算，并且包含浮点运算，不利于硬件实现。

Liang-Barsky 算法

直线的参数方程:

$$\begin{array}{rl}x=& x_1+u\cdot (x_2-x_1)\\ y=& y_1+u\cdot (y_2-y_1)\end{array}$$

对于直线上一点（x,y）,若它在窗口内则有：

$$\begin{array}{r}wxl<=x_1+u\cdot (x_2-x_1)<=wxr\\ wxb<=y_1+u\cdot (y_2-y_1)<=wyt\end{array}$$

令：

则有：

• 任何平行于剪切边界之一的直线 $p_k=0$, 其中 k 对应于该剪切边界（k=1,2,3,4 对应于左、右、下、上边界）
  • 如果 $q_k>=0$ ，则线段位于边界之内。
  • 如果还满足 $q_k<0$ ，则线段完全在边界之外，因此舍弃该线段。
• 当pk<0, 线段从剪切边界延长线的外部延长到内部。
• 当pk>0，线段从剪切边界延长线的内部延长到外部。
• 当pk≠0，可以计算出线段与边界k的延长线的交点的u值：

算法步骤

1. 输入直线段的两端点坐标：(x1,y1)和(x2,y2)，以及窗口的四条边界坐标：wyt、wyb、wxl和wxr。
2. 若Δx=0，则p1=p2=0。此时进一步判断是否满足q1<0或q2<0，若满足，则该直线段不在窗口内，算法结束。否则，满足q1>0且q2>0，则进一步计算u1和u2。算法转(5)。
3. 若Δy=0，则p3=p4=0。此时进一步判断是否满足q3<0或q4<0，若满足，则该直线段不在窗口内，算法结束。否则，满足q3>0且q4>0，则进一步计算u3和u4。算法转(5)。
4. 若上述两条均不满足，则有pk≠0（k=1,2,3,4）。此时计算u1u2,u3和u4。求出（umax,umin)赋值给（u1，u2）
5. 求得u1和u2后，进行判断：若u1>u2，或者u1>1,则直线段在窗口外，算法结束。若u1<u2，利用直线的参数方程求得直线段在窗口内的两端点坐标。
6. 利用直线的扫描转换算法绘制在窗口内的直线段。算法结束。

多边形裁剪

基本思想：

1. 将多边形的边界作为一个整体。
2. 每次用窗口的一条边界对要裁剪的多边形进行裁剪。
3. 体现分而治之的思想。

策略：

• 为窗口各边界裁剪的多边形存储输入与输出顶点表。
  • 在窗口的一条裁剪边界处理完所有顶点后，其输出顶点表将用窗口的下一条边界继续裁剪。
• 窗口的一条边以及延长线构成的裁剪线把平面分为两个区域
  • 包含窗口区域的区域称为可见侧。
  • 不包含窗口区域的域为不可见侧。

Weiler-Atherton多边形裁剪

思想：

1. 假定按顺时针方向处理顶点，且将用户多边形定义为Ps，窗口矩形为Pw。

2. 从Ps的任一点出发，跟踪检测Ps的每一条边，当Ps与Pw相交时（实交点），按如下规则处理：

   1. 若是由不可见侧进入可见侧，则输出可见直线段，转(3)
   2. 若是由可见侧进入不可见侧，从当前交点开始，沿窗口边界顺时针检测Pw的边，用窗口的有效边界去裁剪Ps的边，找到Ps与Pw最靠近当前交点的另一交点，输出可见直线段和由当前交点到另一交点之间窗口边界上的线段，然后返回处理的当前交点
   3. 沿着Ps处理各条边，直到处理完Ps的每一条边，回到起点为止