线性代数常见的解题方法

一.行列式

1.利用行列式的性质进行简化

(1)重要行列式

主对角线，副对角线(不要忘了-1的次数)，拉普拉斯展开(副对角线是m*n)，范德蒙

(2)行列式展开定理

每一行/列的元素乘以它对应的代数余子式

扩展：拉普拉斯展开定理，可以按照任意行和列数进行展开，行列式的值=|A|* |B|*(-1)^(按哪几行和列展开的行和 和 列和相加)

上面的矩阵就是=|A|* |B|*(-1)^(4 + 5 + 4 + 5) =  6

(3)加边法

遇到如图所示得行列式可以使用加边法(实质还是行列式的展开定理)

方法详解：在整个行列式的左上角加一行和一列，左上角的元素是1(加其他位置也可以，要满足行列式的展开定理就行)，让他的一行/一列等于0(除了左上角的元素)，一列等于(a1,a2,a3,a4)^T,这样就可以使用第一列/第一行将行列式里的aiaj都消掉，最后转化成爪形行列式

(4)递推

高阶到低阶：递推；低阶到高阶：归纳；

扩展：二阶差分方程

Dn和Dn-2差2阶就叫二阶差分方程

解法：和求二阶微分方程一样，先算找特征方程算特征根解出来r1=α，r2=β

(5)三对角矩阵

2.代数余子式求和

(1)代数余子式定义

(2)展开定理

(3)A*（这里包含了A的所有代数余子式）

3.抽像形行列式的计算

(1)行列式的性质

(2)行列式的公式

经典错误1：不能由行列式不等于E，得出行列式的值不为1

经典错误2：A≠E，的不出|A-E|不等于0