高等数学第一章---函数与极限(1.2 数列的极限1)

§1.2 数列的极限

一、数列定义

定义在正整数集上的函数（又称整标函数，既n为正整数），其函数值构成一个无穷数列，简称数列，记作 { a n } \{a_n\} {an​}，其中$a_n$为通项。

例如：
①数列 { 2 n } \{2n\} {2n}，其通项$a_n=2n$；
②数列 { 1 n } \{\frac{1}{n}\} {n1​}，通项$a_n=\frac{1}{n}$；
③数列$\{(-1{)}^n\}$，通项$a_n=(-1{)}^n$ 。

二、数列的极限

1. 极限思想

刘徽（公元3世纪）的割圆术：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

设$A_n$表示圆内接正$6\times 2^{n-1}$边形的面积，$A_1$表示圆内接正六边形的面积，$A_2$表示圆内接正十二边形的面积，$A_3$表示圆内接正二十四边形的面积，…，$A_n$表示圆内接正$6\times 2^{n-1}$边形的面积，…，则$A_1$，$A_2$，$A_3$，…，$A_n$，…构成一数列。且$n$越大，内接正多边形的面积越接近圆的面积，当$n$无限大时，内接正多边形的面积无限接近圆的面积，此时圆的面积我们称为内接正多边形的面积的极限，即数列 { A n } \{A_n\} {An​}的极限为圆的面积$S$。这种无限接近的思想即是极限思想，即当$n$逐渐增大时数列的变化趋势。

2. 数列的极限

下面通过考查几个具体数列当$n$无限增大时数列的变化趋势。
（1）数列 { 1 + 1 n } \{1+\frac{1}{n}\} {1+n1​}，即$a_n=1+\frac{1}{n}$ ，当$n$逐渐增大时，$a_n$的值越来越接近常数“1”。

（2）数列 { 1 − 1 n } \{1-\frac{1}{n}\} {1−n1​}，即$a_n=1-\frac{1}{n}$，同样当$n$逐渐增大时，$a_n$的值也越来越接近常数“1”。

通过观察上述2个数列当$n$逐渐增大时的变化趋势是：$a_n$越来越接近常数“1”，当$n$无限增大时，$a_n$无限接近常数“1”，即$|a_n-1|$与常数“1”的距离无限接近0，此时的常数“1”我们称为当$n$无限增大时数列的极限。

一般的，对数列 { a n } \{a_n\} {an​}，$a$为常数，当$n$无限增大时$|a_n-a|$无限接近0，则常数$a$称为当$n$无限增大时数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限。

定义1（描述性定义）：设数列 { a n } \{a_n\} {an​}，$a$为常数，如果当$n$无限增大时$|a_n-a|$无限接近0，则常数$a$称为当$n$无限增大时数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$。

注：

• 定义1是数列极限的描述性定义，即$n$无限增大，$|a_n-a|$无限接近0。

• 把上述两个无限过程定量表示：
  ①$|a_n-a|$ 无限接近 0 $\iff \forall \epsilon >0,|a_n-a|<\epsilon$（$\epsilon$ 表示要多小有多小的正数）；
  ② $n$ 无限增大 $\iff \exists N\in N^{+},n>N$（$N$ 表示要多大有多大的正整数）。

定义2（$\epsilon -N$语言定义）：设数列 { a n } \{a_n\} {an​}，$a$为常数，$\forall \epsilon >0$，$\exists N\in N^{+}$，当$n>N$时，有$|a_n-a|<\epsilon$，则称$a$是当$n$无限增大时数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$。

例如：对于数列 { 1 n } \{ \frac{1}{n} \} {n1​}，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$。因为$\forall \epsilon >0$，要使$|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}<\epsilon$，只要$n>\frac{1}{\epsilon }$，取$N=[\frac{1}{\epsilon }]$（$[x]$表示不超过$x$的最大整数），当$n>N$时，就有$|\frac{1}{n}-0|<\epsilon$ 。

注：

• $\epsilon$的任意性：“$\epsilon$”是用来衡量$a_n$与$a$的接近程度的，即$\epsilon$越小表示$a_n$越接近$a$，因此，$\epsilon$表示要多小有多小的正数。

• $N$的相对固定性：若 { a n } \{a_n\} {an​}以$a$为极限，则对每个给定的正数$\epsilon$都有相应的$N$成立。如：已知$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$，给定$\epsilon =0.1$ ，要使$|\frac{1}{n}-0|<0.1$，即$n>10$，取$N=10$，当$n>10$时，有$|\frac{1}{n}-0|<0.1$；给定$\epsilon =0.01$，要使$|\frac{1}{n}-0|<0.01$，即$n>100$，取$N=100$，当$n>100$时，有$|\frac{1}{n}-0|<0.01$。

• $\epsilon$的其他形式：若$\epsilon$是任意小的正数，则$2\epsilon$、$\frac{\epsilon }{2}$等也表示任意小的正数。如：若$\forall \epsilon >0$，$\exists N\in N^{+}$，当$n>N$时，有$|a_n-a|<2\epsilon$，则$a$是当$n$无限增大时数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限。因为对于任意给定的正数${\epsilon }_1$ ，取$\epsilon =\frac{{\epsilon }_1}{2}$，当$n>N$时，$|a_n-a|<2\epsilon ={\epsilon }_1$。

• $N$的相应性：一般的，$N$是随$\epsilon$的变小而变大，即$\epsilon$越小，$N$越大，即$N$依赖$\epsilon$。如：对于数列 { 1 n } \{ \frac{1}{n} \} {n1​}，①当$\epsilon =0.1$时，要使$|\frac{1}{n}-0|<0.1$，即$n>10$，取$N=10$，即数列从第11项起后面所有项都满足$|\frac{1}{n}-0|<0.1$；②当$\epsilon =0.01$时，要使$|\frac{1}{n}-0|<0.01$，即$n>100$，取$N=100$，即数列从第101项起后面所有项都满足$|\frac{1}{n}-0|<0.01$ 。

• 若数列存在极限，则称数列收敛，若数列不存在极限，则称数列发散。

例1：利用定义证明①$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n}=3$；②$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}=0$。

• 证明①：$\forall \epsilon >0$，要使$\left|\frac{3n+1}{n}-3\right|=\left|\frac{3n+1-3n}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon$，只要$n>\frac{1}{\epsilon }$，取$N=[\frac{1}{\epsilon }]$，当$n>N$时，就有$\left|\frac{3n+1}{n}-3\right|<\epsilon$，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n}=3$。
• 证明②：$\forall \epsilon >0$，要使$\left|\frac{1}{2^n}-0\right|=\frac{1}{2^n}<\epsilon$，即$2^n>\frac{1}{\epsilon }$，两边取以2为底的对数得$n>{\log }_2\frac{1}{\epsilon }$，取$N=[{\log }_2\frac{1}{\epsilon }]$，当$n>N$时，就有$\left|\frac{1}{2^n}-0\right|<\epsilon$，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}=0$。

例2：设$a_n=\frac{n}{n+1}$，证明：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$。
证明：$\forall \epsilon >0$，要使$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\left|\frac{n-(n+1)}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}<\epsilon$，只要$n+1>\frac{1}{\epsilon }$，即$n>\frac{1}{\epsilon }-1$。取$N=[\frac{1}{\epsilon }-1]$（当$\epsilon ⩾1$时，$N=1$ 也满足要求），当$n>N$时，就有$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|<\epsilon$，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$。

3. 数列极限的性质

（1）唯一性：如果数列 { a n } \{a_n\} {an​}收敛，则极限必唯一。
证明（反证法）：设$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=b$，不妨设$a<b$。
由$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，对${\epsilon }_1=\frac{b-a}{2}>0$，$\exists N_1\in N^{+}$，当$n>N_1$时，有$|a_n-a|<\frac{b-a}{2}$，即$a-\frac{b-a}{2}<a_n<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$；
由$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=b$，对${\epsilon }_2=\frac{b-a}{2}>0$，$\exists N_2\in N^{+}$，当$n>N_2$时，有$|a_n-b|<\frac{b-a}{2}$，即$b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}<a_n<b+\frac{b-a}{2}$。
取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } N=\max\{N_1,N_2\} N=max{N1​,N2​}，当$n>N$时，有$\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{a+b}{2}$，矛盾，即证数列极限的唯一性。

（2）有界性：如果数列 { a n } \{a_n\} {an​}收敛，则数列必有界。
证明：所谓数列 { a n } \{a_n\} {an​}有界，即存在$M>0$，使对任意的$n\in N^{+}$都有$|a_n|⩽M$。
由$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，对$\epsilon =1$，$\exists N\in N^{+}$，当$n>N$时，有$|a_n-a|<1$，即$a-1<a_n<a+1$。
而$|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_N|$是有限个数，设 M 1 = max ⁡ { ∣ a 1 ∣ , ∣ a 2 ∣ , ⋯ , ∣ a N ∣ , ∣ a − 1 ∣ , ∣ a + 1 ∣ } M_1=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a - 1|,|a + 1|\} M1​=max{∣a1​∣,∣a2​∣,⋯,∣aN​∣,∣a−1∣,∣a+1∣}，取$M=M_1$，于是对任意的$n\in N^{+}$都有$|a_n|⩽M$，即数列 { a n } \{a_n\} {an​}有界。
注：逆命题不一定成立，即有界数列不一定收敛。如：数列$\{(-1{)}^n\}$，$|(-1{)}^n|=1$有界，但该数列不收敛。

（3）保号性：设$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，且$a>0$（或$a<0$），则存在正整数$N$，当$n>N$，有$a_n>0$（或$a_n<0$）。
证明：对$a>0$的情况。由$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，对$\epsilon =\frac{a}{2}>0$，$\exists N\in N^{+}$，当$n>N$时，有$|a_n-a|<\frac{a}{2}$，即$a-\frac{a}{2}<a_n<a+\frac{a}{2}$，所以$a_n>\frac{a}{2}>0$。
对$a<0$的情况，取$\epsilon =-\frac{a}{2}>0$，类似可证。
注：如果数列 { a n } \{a_n\} {an​}从某一项起有$a_n>0$（或$a_n<0$），且$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，则$a⩾0$（或$a⩽0$）。如：数列 { 1 n } \{ \frac{1}{n} \} {n1​}，$a_n=\frac{1}{n}>0$，但$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$。

作业

1. 观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限，并给予证明。
   （1）$\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$
   （2）$\left\{(-1{)}^n\frac{1}{n}\right\}$
   （3）$\left\{2+\frac{1}{n^2}\right\}$
   （4）$\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$

2. 回答下列问题
   （1） 数列的有界性是数列收敛的什么条件？
   （2） 无界数列是否一定发散？
   （3） 有界数列是否一定收敛？

参考答案

2.解：
（1）数列的有界性是数列收敛的必要条件，因为数列收敛一定有界，但有界数列不一定收敛。
（2）无界数列一定发散（有界性的逆否命题）。
（3）有界数列不一定收敛。

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（加上后序内容超过了一篇博客字数限制，数列的极限后序请看下一篇数列的极限2，高等数学第一章—函数与极限(1.2 数列的极限2)）