正弦积分函数——分析傅里叶级数在间断点的行为——吉布斯现象

正弦积分函数$\text{Si}(x)$

1. 定义
   正弦积分函数$\text{Si}(x)$定义为：
   $$\text{Si}(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt,$$
   其中，被积函数在$t=0$处定义为极限值${\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$，以保证连续性。

2. 主要性质

• 收敛性：$\text{Si}(x)$是全体实数$x$上的连续、可微函数。
• 极限行为：
  • 当$x\to \infty$时，$\text{Si}(x)$收敛到$\frac{\pi }{2}$（Dirichlet 积分结果）：
    $$\text{Si}(\infty )={\int }_0^{\infty }\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}.$$
  • 在$x=\pi$处的值为：
    $$\text{Si}(\pi )\approx 1.851937\text{（用于吉布斯现象的计算）}.$$
• 奇函数：$\text{Si}(-x)=-\text{Si}(x)$。
• 导数：$\frac{d}{dx}\text{Si}(x)=\frac{\sin x}{x}$。

3. 与吉布斯现象的关系
   信号处理：分析傅里叶级数在间断点的行为。
   在吉布斯现象的证明中，$\text{Si}(\pi )$是关键常数：
   $$\text{过冲比例}=\frac{2}{\pi }\text{Si}(\pi )-1\approx 0.17898\text{（相对总跳变幅度）},$$
   对应单侧过冲 8.95%（见前文推导）。

4. 数值计算
   $\text{Si}(x)$可通过泰勒级数展开或数值积分计算：
   $$\text{Si}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!},$$
   但对大$x$需用其他方法（如渐近展开）。

$\text{Si}(x)$是连接理论与实际振荡现象的重要特殊函数。