(done) Positive Semidefinite Matrices 什么是半正定矩阵?如何证明一个矩阵是半正定矩阵? 可以使用特征值

参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1Vg41197ew/?vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

参考资料(半正定矩阵的定义):https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8A%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5/2152711?fr=ge_ala


看看半正定矩阵的定义:
在这里插入图片描述

正定矩阵是 > 0,半正定矩阵是 >= 0

根据定义来看,半正定矩阵也有 “实对称矩阵” 的前提条件


或许我们可以考虑 半正定矩阵性质 和 “特征值特性” 之间的关系,证明方法可以参考之前 “正定矩阵的特征值特性” 的证明方法

首先大胆假设:半正定矩阵 <=> 特征值都 >= 0

那么,设 半正定矩阵 A

先试着证明 半正定矩阵 => 特征值都 >= 0:

  • 对于非零任意特征向量 x, x’ A x = x’ (lamda) x = (lamda) x’x >= 0
  • 由于特征向量 x 是非零向量,所以 (lamda) >= 0 (可以为 0)
  • 这个方向证明完毕

再试着证明 特征值都 >= 0 ===> 半正定矩阵

  • 对于任意一个非零向量 x,x’ A x = x’ Q’ (hat) Q x (这是正交相似对角化) (其中 (hat) 是对角矩阵,由于 A 的特征值组成)
  • x’ A x = x’ Q’ (hat) Q x = (Qx)’ (hat) (Qx) (其中 (hat) 是对角矩阵,由 A 的特征值组成)
  • 由于 x 是非零向量,Q是正交矩阵,所以 (Qx) 是非零向量
  • 其中 (hat) 是对角矩阵,对角线上元素由 A 的特征值 (lamda) 组成,(lamda) >= 0,因此 (hat) 也是半正定矩阵
  • 于是, (Qx)’ (hat) (Qx) >= 0
  • 所以 x’ A x >= 0
  • 因此,矩阵 A 是半正定矩阵
  • 证明完毕

up主给的笔记有误,勘误如下:
在这里插入图片描述

如下图是判断正定负定、半正定半负定的方法
不对!不对! up 主错了!!!
对角线上的元素有 0 元素,依然可以是半正定矩阵
我们在后面看个例子
在这里插入图片描述


栗子在这里:
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