使用Mathematica绘制Sierpinski地毯

在Mathematica中内置的绘制Sierpinski地毯的函数：

SierpinskiCurve[n] 
gives the line segments representing the n-step Sierpiński curve.

注意，直接运行这个函数，返回的是Line对象，例如：

运行如下代码：

GraphicsGrid[ { {Graphics[SierpinskiCurve[1]], Graphics[SierpinskiCurve[2]]}, {Graphics[SierpinskiCurve[3]], Graphics[SierpinskiCurve[4]]} } ]

我们可以得到前面几个地毯的对比图形：

可以通过DataRange，指定参数范围，使得相应的几何图形，能够放在合适的坐标系内：

Graphics[ SierpinskiCurve[3, DataRange -> {{0, 1}, {0, 1}}], PlotRange -> 2, Axes -> True ]

在这个给定的坐标系内，可使用BSplineFunction，将几何图形参数化并绘制出来：

BSplineFunction[ SierpinskiCurve[3, DataRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}}][[1]], SplineDegree -> 1]; ParametricPlot[%[t], {t, 0, 1}, PlotPoints -> 400]

也可以采用如下方式来实现：

Graphics[{Thickness[Large], SierpinskiCurve[3] /. Line -> BSplineCurve}]

注意：此时的BSplineFunction的阶数为2（看起来比上面的要更加光滑）。

利用这个参数化，可以直观看到曲线的填充过程：

tempFunc00 = BSplineFunction[ SierpinskiCurve[4, DataRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}}][[1]], SplineDegree -> 1]; Animate[ParametricPlot[tempFunc00[t], {t, 0, n}, PlotPoints -> 400, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}}], {n, 0.01, 1, 0.01}]

这样的动态效果，是有连续性的视觉效果。但是如果绘制图形的阶数比较大，也可以使用“整数”的方式，来达到类似的视觉效果。

With[{curve = SierpinskiCurve[6]}, Manipulate[ Graphics[{curve, Red, Thick, Line[Take[First[curve], i]]}, ImageSize -> Medium], {i, 1, 16385, 1}]]