2.3 向量组
本章主要考查向量组的线性关系、秩与极大无关组、向量空间等核心内容，是线性代数的重要基础模块。以下从四个核心考点展开系统梳理：
考点一：向量组的线性表示
核心问题：如何用一组向量线性表出另一组向量？如何判断线性表示的存在性？
1 向量 β \beta β 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 线性表示
⇔ \Leftrightarrow ⇔ 存在一组 k k k ， 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = β k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=\beta k1α1+k2α2+...+kmαm=β （定义）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = β x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_m\alpha_m=\beta x1α1+x2α2+...+xmαm=β 有解 （非齐次线性方程组）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α m , β ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta) r(α1,α2,...,αm)=r(α1,α2,...,αm,β)（秩）
2 向量组 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 线性表示
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α m , β 1 , β 2 , . . . , β n ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n) r(α1,α2,...,αm)=r(α1,α2,...,αm,β1,β2,...,βn)（秩）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) ≥ r ( β 1 , β 2 , . . . , β n ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) ≥r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n) r(α1,α2,...,αm)≥r(β1,β2,...,βn)
3 向量组 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn 与向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 等价
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) = r ( β 1 , β 2 , . . . , β n ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α m , β 1 , β 2 , . . . , β n ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) = r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n) =r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n) r(α1,α2,...,αm)=r(β1,β2,...,βn)=r(α1,α2,...,αm,β1,β2,...,βn)（秩）
4 组外关系：行（列）变行（列）等价；组内关系：行（列）变不改变行（列）向量组的线性表示关系。
考点二：向量组的线性相关性
核心问题：如何判断向量组是线性相关还是线性无关？
1 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔ k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m= 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0 ，当且仅当向量组全部中所有 k = 0 k=0 k=0 时成立（定义）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_m\alpha_m=0 x1α1+x2α2+...+xmαm=0 仅有零解 （非齐次线性方程组）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) = m r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) =m r(α1,α2,...,αm)=m；向量组满秩，所决定的向量空间维度等于向量个数（秩）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ α 1 , α 2 , . . . , α m ∣ ≠ 0 |\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m| ≠ 0 ∣α1,α2,...,αm∣=0；向量组为 m m m 维的空间（行列式）
2 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm 线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔ k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m= 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0 ，向量组中 k k k 不全为0（定义）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_m\alpha_m=0 x1α1+x2α2+...+xmαm=0 有非零解 （非齐次线性方程组）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) ≠ m r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) ≠ m r(α1,α2,...,αm)=m；向量组不满秩，所决定的向量空间维度小于向量个数（秩）
⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ α 1 , α 2 , . . . , α m ∣ = 0 |\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m| = 0 ∣α1,α2,...,αm∣=0；向量组为小于 m m m 维的空间（行列式）
考点三：向量组的极大无关组与秩
核心概念：
-
极大无关组
若向量组 S S S 中存在部分组 T T T 满足：- T T T 线性无关
- S S S 中任一向量均可由 T T T 线性表示
则称 T T T 是 S S S 的一个极大线性无关组。
-
求极大无关组
- 化为行阶梯型可以确定极大无关组，化为行最简型可以求剩余向量用极大无关组的线性表示。
- 三秩相等：行向量组的秩 = 列向量组的秩 = 矩阵的秩
考点四：向量空间与坐标变换
核心内容：
-
基 :极大无关组
向量空间的基是该空间中的一个极大无关组，维数即基所含向量个数。 -
坐标 ：向量的线性表示
设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn 为空间中的一组基，且向量 β \beta β 在此基下的坐标为 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T (x_1,x_2,...,x_n)^T (x1,x2,...,xn)T，则满足：
β = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n \beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + ... + x_n\alpha_n β=x1α1+x2α2+...+xnαn -
过渡矩阵 ：向量组的线性表示（可逆矩阵方程）
若 A : ( α 1 , . . . , α n ) A:(\alpha_1,...,\alpha_n) A:(α1,...,αn) 和 B : ( β 1 , . . . , β n ) B:(\beta_1,...,\beta_n) B:(β1,...,βn) 均为 n n n 维向量空间的一组基，且满足 A P = B AP = B AP=B，则：
P = A − 1 B P = A^{-1}B P=A−1B 为 α 1 , . . . , α n \alpha_1,...,\alpha_n α1,...,αn 到 β 1 , . . . , β n \beta_1,...,\beta_n β1,...,βn 的过渡矩阵 -
坐标变换
若 η \eta η 在基 A : ( α 1 , . . . , α n ) A:(\alpha_1,...,\alpha_n) A:(α1,...,αn) 和 B : ( β 1 , . . . , β n ) B:(\beta_1,...,\beta_n) B:(β1,...,βn) 下的坐标分别为 x , y x,y x,y，即满足 A x = B y Ax = By Ax=By，则有：
y = B − 1 A x y=B^{-1}Ax y=B−1Ax
典型例题解析
例1：判断向量组 α 1 = ( 1 , 2 , 3 ) , α 2 = ( 4 , 5 , 6 ) , α 3 = ( 7 , 8 , 9 ) \alpha_1=(1,2,3), \alpha_2=(4,5,6), \alpha_3=(7,8,9) α1=(1,2,3),α2=(4,5,6),α3=(7,8,9) 的线性相关性。
解：构造矩阵
A = ( 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ) ⟶ 行变换 ( 1 4 7 0 − 3 − 6 0 0 0 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{pmatrix} \stackrel{行变换}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} A= 123456789 ⟶行变换 1004−307−60
由于秩 r ( A ) = 2 < 3 r(A)=2 < 3 r(A)=2<3，故向量组线性相关。
总结：本章需重点掌握线性表示的条件、秩的计算方法及几何意义，熟练运用矩阵变换解决相关问题。后续章节将深入探讨线性方程组与向量空间的联系，建议配合真题强化训练。