【备战2025数模国赛】（三）数模常见赛题类型及解决办法
在进行数学建模竞赛时，很多同学面临的第一个挑战是如何对赛题进行归类，并选择合适的模型。本篇梳理了数学建模中最常见的几类赛题，并针对每类题型提供了基本的解决思路，帮助大家快速选择合适的解题方法，高效完成模型构建。
数学建模赛题类型主要分为评价类、预测类和优化类三种，其中优化类是最常见的赛题类型，几乎每年的地区赛或国赛美赛等均有出题，必须要掌握并且熟悉。机理分析类基本上建立完机理方程后仍然要转换成优化问题，数理统计类大部分都是和预测相关。
一、评价类问题
1.赛题特征与基本解题步骤
综合评价是数学建模中的一类常见的问题，在国赛和美赛中都经常出现，例如国赛05年长江水质的综合评价、2010年上海世博会影响力的定量评估问题、2014年美赛“最好大学教练”问题、2015年的“互联网+”时代的出租车资源配等，都属于综合评价类问题。综合评价问题是数学建模问题中思路相对清晰的一类题目，从每学期的综合测评、旅游景点的选择到挑选手机，评价类问题在生活中也是处处存在。
- 评价类问题一般的解题步骤为：选择合适的评价指标→确定各指标权重→评价合成最终结果
2.主客观评价问题的区别
主客观概念主要是在指标定权时来划分的。
- 主观评价：在定权时主要以判断者的主观经验为依据
- 客观评价：主要基于测量数据的基本特性来综合定权
定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。
3.如何选择合适的评价方法
在评价类问题的分析中，如何选择合适的评价方法是决定评价结果好坏的关键因素，因此需要洞悉各常用评价方法的基本特性和使用条件才能顺利答题。
二、预测类问题
1.赛题特征与基本解题步骤
预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测。基于数学建模的预测方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法、机器学习等。当在使用相应的预测方法建立预测模型时，我们需要知道主要的一些预测方法的研究特点，优缺点和适用范围。
- 预测类问题一般的解题步骤为：确定预测目的→搜索和审核资料→选择预测模型和方法→分析预测误差改进模型→给出预测结果
2.预测类问题分类
一类是无法用数学语言刻画其内部演化机理的问题；另一类是可以通过微分方程刻画其内部规律，称为机理建模问题，通过微分方程建模求解。
3.如何选择合适的预测方法
在预测类问题的分析中，同样受到预测条件的限制（如数据量的大小、变量之间的关系等），不同的预测方法可能会产生不同的结果，因此需要根据实际情况来选择。
三、优化类问题
1.赛题特征与基本解题步骤
优化类问题是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获（比如保险）。
优化类问题一般的解题步骤为：
- 确定决策变量，即需要优化的变量；
- 确定目标函数，即优化的目的；
- 确定约束条件，即决策变量在达到最优状态时，受到那些客观限制。
2.部分优化类赛题的解决方案
例1：在08年国赛眼科病床的合理安排问题中——
- 目标函数：医院病床的利用率最高；
- 决策变量：服务策略，即是先到病人先住院、急诊病人先住院还是占用病床时间短的病人先住院等；
- 约束条件：可能包括病人最长等待时间限制、不同症状之间的病人不同房等。
例2：在10年国赛交巡警服务平台的设置与调度问题中——
- 决策变量：服务平台的位置坐标；
- 目标函数：交巡警车到达事发地时间最短、交巡警封锁交通要道时间最短；
- 约束条件：可能包括事故发生后交警最晚到达时间，一定区域内服务平台最低数量要求等。
3.如何选择合适的优化方法
优化类问题中常用的数学模型和求解算法，包括线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等。在模型求解中，对于凸优化模型，可以采用基于梯度的求解算法；对于非凸的优化模型，可以采用智能优化算法。
