酉矩阵（Unitary Matrix）和随机矩阵
先讨论酉矩阵（Unitary Matrix）的性质。
1. 酉矩阵定义
酉矩阵（Unitary Matrix）是复数域上的方阵，满足以下条件：
其中：
是
的共轭转置（即 Hermitian 转置，
）。
是单位矩阵。
特殊情形（实数域）：
如果 是实矩阵，则
，此时酉矩阵退化为正交矩阵（Orthogonal Matrix），满足：
2. 酉矩阵性质
酉矩阵具有以下重要性质：
可逆性 可逆，且
保内积
对任意向量 ，有：
其中 是标准 Hermitian 内积
保范数，即酉变换不改变向量的长度
特征值
酉矩阵的所有特征值 满足
，即位于复平面的单位圆上。
行列式，即行列式的模为 1。
列（行）向量正交性
酉矩阵的列（或行）向量构成一组标准正交基。
乘积封闭性
两个酉矩阵的乘积仍是酉矩阵。
3. 重要定理
谱定理（Spectral Theorem）
任何正规矩阵（）可被酉对角化：
其中 是对角矩阵，
是酉矩阵。
QR 分解
任意矩阵 可分解为：
其中 是酉矩阵，
是上三角矩阵。
量子计算中的酉变换
量子门操作必须由酉矩阵表示，以保证概率守恒（即 始终成立）。
4. 计算示例
例1：验证酉矩阵
验证矩阵 是否为酉矩阵。
解：
计算共轭转置 ：
计算 ：
因此 是酉矩阵。
例2：酉矩阵的特征值
求矩阵 的特征值。
解：
验证 是实正交矩阵（实数酉矩阵）：
特征方程为 ：
特征值为 和
，模均为 1，符合酉矩阵性质。
例3：量子计算中的酉矩阵
Hadamard 门是量子计算中的基本酉矩阵：
验证 （留作练习）。
5. 应用方面
量子力学中，酉矩阵描述封闭量子系统的演化。
信号处理里，离散傅里叶变换（DFT）矩阵是酉矩阵。
数值线性代数里，用于稳定化算法（如 QR 迭代法求特征值）。
接下来先看随机矩阵，再看随机矩阵与 酉矩阵的关系。
6.随机矩阵（Stochastic Matrix）的定义
随机矩阵（也称为概率矩阵或马尔可夫矩阵）是指满足以下两个条件的非负实矩阵 ：
行和为1（行随机矩阵）：
元素非负：
变体：
列随机矩阵：列和为 1（即 是行随机矩阵）。
双随机矩阵：行和与列和均为 1。
7. 酉矩阵的元素模平方矩阵是否为随机矩阵
设 是一个酉矩阵（
），定义矩阵
为
的元素的模平方：
问题： 是否一定是随机矩阵
7.1. 行和的性质
由于 是酉矩阵，其列向量是标准正交的，因此：
即 的列和为 1（而非行和）。因此：
的列和满足随机矩阵的条件，但行和不一定。
若 的行向量也是标准正交的（即
是双酉矩阵，如置换矩阵或 DFT 矩阵），则
的行和也为 1，此时
是双随机矩阵。
7.2. 验证
例子1：
考虑酉矩阵：
其模平方矩阵为：
行和与列和均为 1，因此 是双随机矩阵。
例子2：
考虑非双酉的酉矩阵：
其模平方矩阵为：
行和与列和均为 1，但这是特殊情况（对角酉矩阵）。
例子3：
一般酉矩阵的行和可能不为 1。例如：
其模平方矩阵：
列和为 1，但行和也为 1（巧合）。更复杂的酉矩阵可能破坏行和条件。
7.3. 酉矩阵与随机矩阵的关系
的列和恒为 1（因酉矩阵的列正交性），因此
是行随机矩阵。
的行和不一定为 1，除非
的行向量也正交（即
是双酉矩阵）。
若 是双酉矩阵（如置换矩阵、DFT 矩阵），则
是双随机矩阵。
7.4. 进一步讨论
量子力学中的概率解释
在量子测量中， 表示从状态
跃迁到状态
的概率，因此
的列和必须为 1（概率守恒）。
双随机矩阵与 Birkhoff-von Neumann 定理
双随机矩阵可分解为置换矩阵的凸组合，而酉矩阵的模平方矩阵若为双随机，则对应量子通道的“均匀混合”性质。
非双酉矩阵的例外
若 的行向量不正交（如随机生成的酉矩阵），
的行和可能不为 1，此时
仅是列随机矩阵。
最终答案
不一定。酉矩阵 的模平方矩阵
总是列随机矩阵（列和为 1），但仅当
的行向量也正交时（即双酉矩阵），
才是（行）随机矩阵。
典型双酉矩阵（如 Hadamard 矩阵、DFT 矩阵）的 是双随机矩阵。