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算法第29天|动态规划dp2：不同路径、不同路径Ⅱ、整数拆分、不同的二叉搜索树

web 2025/8/1 1:13:29

今日总结：

1、动态规划的五部曲：

（1）确定动态规划数组dp[]的含义,确定dp[]数组的下标的含义

（2）确定动态规划的递推公式

（3）确定动态规划的初始化条件

（4）确定动态规划的传播方向

（5）举例论证递推公式的正确

2、不同路径Ⅱ（需要重新思考）

要注意障碍所在的多种位置：第一行第一列、起点终点、普通中间网格

3、整数拆分（需要重新思考）

注意对于整数差分获得乘积的最大的几种情况

1、拆分成两个后的乘积就是最大值

2、拆分成两个后，还需要对第二个数进行拆分

遍历的时候，其实将j遍历到i/2即可，因为剩余的已经相当于遍历过了

不同路径

题目链接：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

代码随想录

整体思路：

从左上到右下：所有的位置（i,j）只能通过向下移动、向右移动，进行到达，所以位置(i.j)与之前状态（i-1,j）,(i,j-1)相关，是动态规划的问题。

1、确定动态规划的dp数组含义以及下标含义

dp[i][j]的含义是到达当前位置有多少条路径

i是横坐标，j是纵坐标

2、确定动态规划的递推公式（状态转移方程）

dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

3、确定动态规划的初始化条件

可以通过图分析可知，在第一行第一列，都是一种路径

4、确定动态规划的方向：

从左向右，从上到下

5、举例论证

简单无需举例

整体代码：
class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {/*1、确定动态规划的dp数组含义以及下标含义dp[i][j]的含义是到达当前位置有多少条路径i是横坐标，j是纵坐标2、确定动态规划的递推公式（状态转移方程）dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]3、确定动态规划的初始化条件可以通过图分析可知，在第一行第一列，都是一种路径4、确定动态规划的方向左向右，从上到下5、举例论证简单无需举例*/vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,0));//遍历dpfor(int i=0;i<m;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(i==0||j==0){dp[i][j]=1;}else{dp[i][j] = dp[i-1][j] +dp[i][j-1];}}}return dp[m-1][n-1];}
};

不同路径Ⅱ

题目链接：63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

代码随想录

整体思路：

与上一个题类似，需要注意有障碍物

1、障碍物在开始或者终点-->直接返回0

2、障碍物在第一行、第一列，障碍物之后的位置（包含障碍物坐标）路径全部为0

3、障碍物在中间的网格，该点的路径为0

(没进行代码优化，但是结果正确)

整体代码：

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {vector<vector<int>>dp(obstacleGrid.size(),vector<int>(obstacleGrid[0].size(),0));//定义dp数组//初始化//1、注意障碍物在起点、终点的情况if(obstacleGrid[0][0]==1||obstacleGrid[obstacleGrid.size()-1][obstacleGrid[0].size()-1]==1)return 0;//注意第一行、第一列正常应该是一条路径，但是如果出现了障碍，后边的网格的路径为0for(int i=0;i<obstacleGrid.size();i++)//遍历行，所以是第一列{if(obstacleGrid[i][0]==0){dp[i][0] =1;}else if(obstacleGrid[i][0]==1)break;}for(int j=0;j<obstacleGrid[0].size();j++){if(obstacleGrid[0][j]==0){dp[0][j]=1;}else if(obstacleGrid[0][j]==1){break;}}//遍历整个网格,从第二行第二列开始就行，因为第一行第一列初始化了for(int i=1;i<obstacleGrid.size();i++){for(int j=1;j<obstacleGrid[0].size();j++){if(obstacleGrid[i][j]==0)//说明不是障碍物{dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}else if(obstacleGrid[i][j]==0)//可不写{dp[i][j] = 0;}}}return dp[obstacleGrid.size()-1][obstacleGrid[0].size()-1];//0,1}
};

整数拆分

题目链接：343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）

代码随想录

整体思路：

目标：拆分的整数的乘积最大化

dp数组的作用是将当前的元素与之前的状态相联系，

从1遍历到n，相当于拆分，将当前的拆分值与剩余值进行相乘，

n=10

j=1,j*9;对于9还可以继续拆，所以需要找到9的最大的拆分乘积进行记录

j=2,j*8,对于8还可以继续拆，所以需要找到8的最大的查拆乘积分进行记录

。。。

所以，对于一个数进行拆分，需要知道这个数之前的所有数的最大拆分，然后找到最大的值-->当前元素的值与之前元素的状态有关，可以使用动态规划dp

(1)确定dp数组的含义、下标的含义

dp数组表示当前数的最大拆分的乘积，下标表示当前元素

(2)确定dp数组的迭代公式(状态转移方程)

dp[i] = j*dp[i-j];dp[i-j]表示的是dp[i-j]的最大拆分乘积，之所以不需要对j进行拆分是因为j是遍历元素，所有的拆分项都在dp[i-j]中出现过

同时要注意，dp[i]的获取还有一种情况，就是i-j本身就是最大值无需在进行拆分dp[i-j]

dp[i] = max(dp[i],dp[i-j],(i-j)*j),

(3)确定dp数组的初始化

dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=2;

(4)确定dp数组的方向

从小到n

(5)举例论证

无需举例

整体代码：
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {//谨记dp数组表示当前元素的最大乘积，下标表示当前数组vector<int>dp(n+1,0);//注意要处理的是n而不是n-1dp[0]=0,dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)//遍历所有的dp数组{for(int j=1;j<i;j++)//通过遍历从0-i确定当前的最大dp[i]{//dp状态转移方程dp[i] = max(dp[i],max(j*dp[i-j],(i-j)*j));}}return dp[n];}
};