调和级数 敛散性

调和级数的敛散性是一个非常经典的问题。我们来全面分析它。

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🧠 调和级数定义

调和级数是指：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$

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❓ 问题：这个级数收敛还是发散？

答案是：

调和级数发散。

尽管它的项 $\frac{1}{n}\to 0$，但趋于 0 的速度太慢，无法使级数收敛。

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✅ 证明一：分组比较法（经典简单）

我们用分组法来估算其部分和下界：

$$\begin{array}{rl}S& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}\right)+\cdots \\ & >1+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+8\cdot \frac{1}{16}+\cdots \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \end{array}$$

每一组和都大于 $\frac{1}{2}$，而这样的组有无穷多组，所以：

$$S\to \infty \Rightarrow \text{调和级数发散}$$

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✅ 证明二：与积分比较

我们比较：

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n}\text{与}{\int }_2^{\infty }\frac{1}{x}dx$$

由于 $\frac{1}{x}$ 是单调递减的正函数，我们可以使用积分判别法：

$${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_2^{\infty }=\infty \Rightarrow \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n}\text{ 也发散}$$

所以调和级数发散。

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🚧 常见误区提醒

• 有人会以为 “项趋于 0 就收敛” —— ❌ 错的。
• 要收敛，必须项趋于 0 且趋近得够快。
• 比如 $\sum \frac{1}{n^2}$ 就收敛，因为趋近更快。

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✅ 总结

级数形式	敛散性
$\sum \frac{1}{n}$	发散（调和级数）
$\sum \frac{1}{n^p},p>1$	收敛
$\sum \frac{1}{n^p},p\le 1$	发散

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如果你想看 变种调和级数（例如交错调和级数） 是否收敛，我也可以继续讲。是否需要？