一阶拟线性偏微分方程光滑解的存在性与最大初始振幅分析

题目

求最大的 $$A\ge 0$$ 使得以下偏微分方程
$$u_t+u{u}_x=-u,-\infty <x<\infty ,$$
初始条件为 $$u{|}_{t=0}=Af(x)$$，
在区域 { ( x , t ) : − ∞ < x < ∞ , T 1 < t < T 2 } \{(x,t): -\infty < x < \infty, \, T_1 < t < T_2\} {(x,t):−∞<x<∞,T1​<t<T2​} 内存在光滑解，其中：

1. $$f(x)=\cos (2x)$$, $$T_1=0$$, $$T_2=\infty$$;
2. $$f(x)=\tanh (x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$;
3. $$f(x)=-\arctan (4x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$;
4. $$f(x)=\sinh (3x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$。

解题思路

该问题涉及一阶拟线性偏微分方程 $$u_t+u{u}_x=-u$$。使用特征线法求解，特征线方程为：
$$\frac{dx}{dt}=u,\frac{du}{dt}=-u.$$
解得：
$$u(t)=u_0{e}^{-t},x(t)=x_0+u_0(1-e^{-t}),$$
其中 $$u_0=u(x_0,0)=Af(x_0)$$。因此，
$$u(x,t)=Af(x_0)e^{-t},x=x_0+Af(x_0)(1-e^{-t}).$$
解的光滑性要求特征线在给定时间区间内不相交，即映射 $$x_0\mapsto x(x_0,t)$$ 为单射。这等价于 Jacobian
$$J(x_0,t)=\frac{\partial x}{\partial x_0}=1+A{f}^{\prime }(x_0)(1-e^{-t})>0$$
对所有 $$x_0$$ 和 $$t\in (T_1,T_2)$$ 成立。定义 $$k(t)=1-e^{-t}$$，则
$$J(x_0,t)=1+A{f}^{\prime }(x_0)k(t).$$
需分析每个函数 $$f(x)$$ 及其对应时间区间下的条件，求最大 $$A\ge 0$$ 使得 $$J>0$$。

1. $$f(x)=\cos (2x)$$, $$T_1=0$$, $$T_2=\infty$$

• $$f^{\prime }(x)=-2\sin (2x)$$。
• 时间区间 $$t>0$$，故 $$k(t)=1-e^{-t}\in (0,1)$$，$$k_{\min }=0$$（下确界），$$k_{\max }=1$$（上确界）。
• 由于 $$f^{\prime }(x)$$ 可正可负，需分情况：
  • 若 $$f^{\prime }(x_0)\ge 0$$，则 $$J\ge 1>0$$。
  • 若 $$f^{\prime }(x_0)<0$$，则 $$J$$ 在 $$k\to 1^{-}$$ 时最小，需 $$1+A{f}^{\prime }(x_0)>0$$，即 $$A<-1/f^{\prime }(x_0)$$。
• 计算 $$-1/f^{\prime }(x_0)=1/(2|\sin (2x_0)|)$$（当 $$\sin (2x_0)>0$$)。该函数在 $$|\sin (2x_0)|=1$$ 时取最小值 $$1/2$$，且在 $$\sin (2x_0)=1$$ 时 $$f(x_0)=0$$。
• 当 $$A=1/2$$，有 $$J=1-\sin (2x_0)(1-e^{-t})\ge e^{-t}>0$$（因 $$|\sin (2x_0)|\le 1$$ 且 $$1-e^{-t}<1$$)。
• 当 $$A>1/2$$，在 $$f^{\prime }(x_0)=-2$$ 的点（如 $$x_0=\pi /4+k\pi$$)，当 $$t>\ln (4A)$$ 时 $$J<0$$，解不光滑。
• 故最大 $$A=1/2$$。

2. $$f(x)=\tanh (x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$

• $$f^{\prime }(x)={\mathrm{sech}}^2(x)>0$$（对所有 $$x$$)。
• 时间区间 $$t\in (-\infty ,\infty )$$，故 $$k(t)\in (-\infty ,1)$$，$$k_{\min }=-\infty$$，$$k_{\max }=1$$。
• $$J=1+A{f}^{\prime }(x_0)k(t)$$。由于 $$f^{\prime }(x_0)>0$$ 且 $$A\ge 0$$，当 $$k\to -\infty$$ 时 $$J\to -\infty$$。
• 对任意 $$A>0$$，存在 $$t<0$$ 使得 $$J<0$$（如 $$x_0=0$$，$$f^{\prime }(0)=1$$，当 $$k(t)<-1/A$$ 时 $$J<0$$)，且特征线相交（如 $$x_{01}=0$$，$$x_{02}=1$$，有相交时间）。
• 当 $$A=0$$，解 $$u\equiv 0$$ 光滑。
• 故最大 $$A=0$$。

3. $$f(x)=-\arctan (4x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$

• $$f^{\prime }(x)=-4/(1+16x^2)<0$$（对所有 $$x$$)。
• 时间区间 $$t\in (-\infty ,\infty )$$，故 $$k(t)\in (-\infty ,1)$$，$$k_{\min }=-\infty$$，$$k_{\max }=1$$。
• $$J=1+A{f}^{\prime }(x_0)k(t)$$。由于 $$f^{\prime }(x_0)<0$$，$$J$$ 在 $$k\to 1^{-}$$ 时最小，需 $$1+A{f}^{\prime }(x_0)>0$$，即 $$A<-1/f^{\prime }(x_0)$$。
• 计算 $$-1/f^{\prime }(x_0)=(1+16x_0^2)/4$$，在 $$x_0=0$$ 时取最小值 $$1/4$$。
• 当 $$A=1/4$$，有 $$J=1-k(t)=e^{-t}>0$$（在 $$x_0=0$$)，且对其他点 $$J>0$$。
• 当 $$A>1/4$$，在 $$x_0=0$$（$$f^{\prime }(0)=-4$$)，当 $$k(t)>1/(4A)$$ 时 $$J<0$$（如 $$t\to \infty$$ 时）。
• 故最大 $$A=1/4$$。

4. $$f(x)=\sinh (3x)$$, $$T_1=-\infty$$, $$T_2=\infty$$

• $$f^{\prime }(x)=3\cosh (3x)>0$$（对所有 $$x$$)。
• 时间区间 $$t\in (-\infty ,\infty )$$，故 $$k(t)\in (-\infty ,1)$$，$$k_{\min }=-\infty$$，$$k_{\max }=1$$。
• $$J=1+A{f}^{\prime }(x_0)k(t)$$。由于 $$f^{\prime }(x_0)>0$$ 且 $$A\ge 0$$，当 $$k\to -\infty$$ 时 $$J\to -\infty$$。
• 对任意 $$A>0$$，存在 $$t<0$$ 使得 $$J<0$$（如 $$x_0=0$$，$$f^{\prime }(0)=3$$，当 $$k(t)<-1/(3A)$$ 时 $$J<0$$)，且特征线相交（如 $$x_{01}=0$$，$$x_{02}=1$$，有相交时间）。
• 当 $$A=0$$，解 $$u\equiv 0$$ 光滑。
• 故最大 $$A=0$$。

答案

$$\boxed{\begin{array}{cc}\text{函数 }f(x)& \text{最大 }A\\ \cos (2x)& \frac{1}{2}\\ \tanh (x)& 0\\ -\arctan (4x)& \frac{1}{4}\\ \sinh (3x)& 0\end{array}}$$