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摩擦非线性随动电机位置误差控制系统

web 2025/6/20 12:53:55

摩擦非线性随动电机位置误差控制系统如下图，图中Kd为传动系数，Tem为机电时间常数。摩擦是一种典型的非线性环节，它表现为三种情形：一是静摩擦，二是库仑摩擦、三是黏性摩擦。静摩擦是阻碍静止物体产生运动趋势的阻力，一旦物体开始运动，静摩擦即消失，代之以动摩擦(库仑摩擦+黏性摩擦)，动摩擦为F0+bω，F0为常数。用相平面分析低速爬行效应产生的机理，给出降低或消除这种效应的策略。

在这里插入图片描述

摩擦力的表达式为：
$F_f = \begin{cases} F_s, & \omega = 0, |F_{外}| < F_s \\ F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega, & \omega \neq 0 \end{cases}$

低速爬行效应的本质是静摩擦与动摩擦的突变导致的非线性现象。通过摩擦补偿、提高阻尼、自适应控制等方法可以有效降低或消除低速爬行效应。

根据你的问题，速度跟踪问题中，设定输入为匀速 ( r(t) = vt )（( v ) 为常数），我们需要分析摩擦补偿开关线的位置。这涉及到摩擦力的非线性补偿，尤其是库仑摩擦的“开关”特性。

1. 系统简化与误差信号

设定 ( r(t) = vt )，则期望速度 ( r’(t) = v )。
令实际输出为 ( \theta(t) )，实际速度为 ( \omega = \dot{\theta}(t) )。
速度误差 ( e = v - \omega )。

2. 摩擦补偿的开关线分析

摩擦力表达式回顾

[
F_f = F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega
]
摩擦补偿常采用如下形式：
[
F(\omega) = kF_0 \cdot \text{sgn}(\omega)
]
其中 ( k > 1 ) 是补偿系数。

系统受控方程

忽略惯性和扰动，系统在稳态时有：
[
K_d e = F_f - F(\omega)
]
[
K_d (v - \omega) = F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega - kF_0 \cdot \text{sgn}(\omega)
]
[
K_d (v - \omega) = (1-k)F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega
]

开关线的定义

开关线是指摩擦补偿项 ( F(\omega) ) 发生切换的速度点，通常是 (\omega = 0) 处，但由于补偿系数 ( k > 1 )，实际切换点会偏移。

求解开关线位置

令 ( \omega \to 0^+ ) 和 ( \omega \to 0^- ) 分别分析：

当 ( \omega \to 0^+ )（正向刚起动）：
[
K_d (v - 0) = (1-k)F_0 + 0
\implies v = \frac{(1-k)F_0}{K_d}
]
当 ( \omega \to 0^- )（反向刚起动）：
[
K_d (v - 0) = (k-1)F_0 + 0
\implies v = \frac{(k-1)F_0}{K_d}
]

因此，开关线在速度平面上的位置为：
[
v = \pm \frac{(k-1)F_0}{K_d}
]

正向：( v = \frac{(k-1)F_0}{K_d} )
反向：( v = -\frac{(k-1)F_0}{K_d} )

3. 参数范围下的开关线区间

根据参数范围：

( F_0 \in [1, 3] )
( k \in [1.1, 1.5] )
( K_d \in [2, 10] )

开关线的最大/最小值：

最大值（( F_0=3, k=1.5, K_d=2 )）：
[
v_{max} = \frac{(1.5-1)\times 3}{2} = \frac{0.5 \times 3}{2} = 0.75
]
最小值（( F_0=1, k=1.1, K_d=10 )）：
[
v_{min} = \frac{(1.1-1)\times 1}{10} = \frac{0.1}{10} = 0.01
]

所以，开关线的位置区间为：
[
v \in \left[0.01,, 0.75\right]
]
（正负对称，反向为负值）

4. 结论

开关线是摩擦补偿切换的速度点，表达式为 ( v = \pm \frac{(k-1)F_0}{K_d} )。
参数范围下，开关线区间为 ( v \in [-0.75, -0.01] \cup [0.01, 0.75] )。
物理意义：当期望速度 ( v ) 小于该区间时，系统可能出现低速爬行或停滞；大于该区间时，摩擦补偿能有效克服摩擦，实现平滑跟踪。

根据你给出的随动电机位置控制系统框图，结合摩擦补偿环节，误差动力学方程可按如下步骤推导：

1. 定义变量

设参考输入 ( r(t) = vt )，期望速度 ( v ) 为常数。
实际输出角度 ( \theta(t) )，实际速度 ( \omega = \dot{\theta}(t) )。
误差 ( e = r(t) - \theta(t) )。
摩擦力 ( F_f = F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega )。
摩擦补偿 ( F(\omega) = kF_0 \cdot \text{sgn}(\omega) )。

2. 系统主通道传递函数

电机环节为一阶惯性环节：
[
\frac{K_d}{T_{em}s + 1}
]
积分环节：
[
\frac{1}{s}
]

3. 系统方程

系统输入为 ( e )，输出为 ( \omega )：
[
\omega(s) = \frac{K_d}{T_{em}s + 1} \left[ e(s) - f(s) \right]
]
其中 ( f(t) = F_f - F(\omega) ) 为摩擦补偿后剩余摩擦力。

4. 误差动力学方程（时域）

[
T_{em} \dot{\omega} + \omega = K_d \left[ e - f(t) \right]
]
又 ( \omega = \dot{\theta} )，( e = r(t) - \theta(t) )，( r(t) = vt )。
[
T_{em} \ddot{\theta} + \dot{\theta} = K_d \left[ v t - \theta(t) - f(t) \right]
]

5. 误差动力学方程（以误差为变量）

令 ( e = r(t) - \theta(t) )，则 ( \dot{e} = v - \dot{\theta} )，( \ddot{e} = -\ddot{\theta} )。

将 ( \dot{\theta} = v - \dot{e} )，( \ddot{\theta} = -\ddot{e} ) 代入上式：

[
T_{em}(-\ddot{e}) + (v - \dot{e}) = K_d \left[ e - f(t) \right]
]
[

T_{em} \ddot{e} + v - \dot{e} = K_d e - K_d f(t)
]
[
T_{em} \ddot{e} - \dot{e} - K_d e = -v - K_d f(t)
]
[
T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = v + K_d f(t)
]

6. 最终误差动力学方程

[
\boxed{
T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = v + K_d \left[ F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega - kF_0 \cdot \text{sgn}(\omega) \right]
}
]
或
[
T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = v + K_d \left[ (1-k)F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega \right]
]

其中 (\omega = v - \dot{e})。

我们来详细分析误差动力学方程的奇点类型，并计算自然频率和阻尼比。

1. 误差动力学方程回顾

上一问推导的误差动力学方程为：
[
T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = v + K_d \left[ (1-k)F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega \right]
]
其中 (\omega = v - \dot{e})。

对于奇点类型分析，我们只需关注齐次方程（即忽略右侧的常数和非线性项）：
[
T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = 0
]

2. 标准二阶系统形式

将其与标准二阶系统比较：
[
\ddot{e} + 2\xi\omega_n \dot{e} + \omega_n^2 e = 0
]

对比可得：

( T_{em} \ddot{e} + \dot{e} + K_d e = 0 )
两边同时除以 ( T_{em} )：
[
\ddot{e} + \frac{1}{T_{em}} \dot{e} + \frac{K_d}{T_{em}} e = 0
]

所以：

( 2\xi\omega_n = \frac{1}{T_{em}} )
( \omega_n^2 = \frac{K_d}{T_{em}} )

3. 自然频率与阻尼比公式

[
\omega_n = \sqrt{\frac{K_d}{T_{em}}}
]
[
\xi = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{T_{em} \omega_n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{T_{em} \sqrt{K_d/T_{em}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{K_d T_{em}}}
]

4. 奇点类型分析

特征方程为：
[
s^2 + \frac{1}{T_{em}} s + \frac{K_d}{T_{em}} = 0
]
其根为：
[
s_{1,2} = -\frac{1}{2T_{em}} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2T_{em}}\right)^2 - \frac{K_d}{T_{em}}}
]

若 ( \xi > 1 )：实根，过阻尼，稳定结点
若 ( \xi = 1 )：实根相等，临界阻尼，稳定结点
若 ( 0 < \xi < 1 )：复根，阻尼振荡，稳定焦点

5. 参数范围下的数值区间

( T_{em} \in [0.5, 10] )
( K_d \in [2, 10] )

自然频率区间：
[
\omega_n = \sqrt{\frac{K_d}{T_{em}}}
]

最小：( \sqrt{2/10} \approx 0.447 )
最大：( \sqrt{10/0.5} = \sqrt{20} \approx 4.472 )

阻尼比区间：
[
\xi = \frac{1}{2\sqrt{K_d T_{em}}}
]

最小：( \frac{1}{2\sqrt{10 \times 10}} = \frac{1}{2 \times 10} = 0.05 )
最大：( \frac{1}{2\sqrt{2 \times 0.5}} = \frac{1}{2 \times 1} = 0.5 )

6. 结论

自然频率：(\omega_n \in [0.447, 4.472])
阻尼比：(\xi \in [0.05, 0.5])
奇点类型：由于阻尼比 ( \xi < 1 )，系统为欠阻尼二阶系统，奇点为稳定焦点（复共轭极点）。

你的问题涉及摩擦补偿系统的相轨迹分析，需要结合“开关线”的物理意义、奇点类型（稳定焦点/结点）以及参数选择对系统相轨迹的影响。下面分点详细分析：

1. 开关线的物理意义

开关线是摩擦补偿项切换的速度点，表达式为：
[
v = \pm \frac{(k-1)F_0}{K_d}
]
在相平面（(e, \dot{e}) 或 (\omega, \theta)）上，开关线将状态空间分为不同区域，系统状态点跨越开关线时，摩擦补偿项发生突变，导致系统动力学发生切换。

2. 奇点类型

由前述分析，系统为欠阻尼二阶系统，奇点为稳定焦点（复共轭极点）。
若参数选择使阻尼比增大（趋近于1），奇点可能变为稳定结点（实根），但在本参数范围内主要为焦点。

3. 参数选择对相轨迹的影响

（1）不同参数下的自然频率与阻尼比

自然频率高（(K_d)大，(T_{em})小）：系统响应快，轨迹收敛速度快，螺旋收敛半径小。
阻尼比低（(K_d)大，(T_{em})大）：轨迹振荡明显，螺旋收敛，可能出现多次穿越开关线。
阻尼比高（(K_d)小，(T_{em})小）：轨迹收敛快，振荡小，趋于直线收敛。

（2）开关线与相轨迹的关系

初始状态远离开关线：系统状态点向奇点螺旋收敛，可能多次穿越开关线，每次穿越摩擦补偿项突变，导致轨迹折线或“拐弯”。
初始状态靠近开关线：状态点可能在开关线附近来回切换，若摩擦补偿过度（(k)过大），可能出现“抖振”或“爬行”现象。
参数选择合理（(k)适中，阻尼适中）：轨迹平滑收敛，穿越开关线后迅速进入稳定区。

（3）极端参数情况

摩擦补偿不足（(k \approx 1)）：补偿效果差，低速区易出现爬行，轨迹在开关线附近停滞或缓慢收敛。
摩擦补偿过度（(k)过大）：补偿项反向过大，系统可能在开关线两侧来回切换，出现高频抖振（chattering）。
阻尼极低：轨迹大幅螺旋，穿越开关线次数多，易激发系统振荡。
阻尼极高：轨迹趋于直线，快速收敛到奇点，穿越开关线次数少。

4. 相轨迹可能的典型情况总结

参数选择	奇点类型	相轨迹表现	物理现象
欠阻尼（常见）	稳定焦点	螺旋收敛，穿越开关线多次	振荡、爬行
临界/过阻尼	稳定结点	直线收敛，穿越开关线少	平滑收敛
(k)过小	稳定焦点	轨迹在开关线附近停滞	低速爬行
(k)过大	稳定焦点	轨迹在开关线两侧高频切换	抖振（chattering）
合理参数	稳定焦点	平滑螺旋收敛，快速进入稳定区	最优跟踪

5. 物理解释

开关线决定了摩擦补偿的切换点，是系统非线性的来源。
奇点类型决定了系统收敛的方式（螺旋/直线）。
参数选择影响系统的响应速度、振荡程度和摩擦补偿效果。
合理设计参数，可使系统状态点平滑穿越开关线，快速收敛到目标点，避免爬行和抖振。

结合电机内部参数与外部摩擦，降低或消除低速爬行（stick-slip/creep）效应的方法主要有以下几类：

1. 优化电机内部参数

（1）提高系统刚度与响应速度

减小机电时间常数 (T_{em})：选用响应更快的电机和驱动器，使系统对输入变化更敏感，减少因摩擦导致的滞后和爬行。
增大传动系数 (K_d)：提高控制器增益，使系统对误差的修正更有力，能更快克服摩擦力。

（2）增加系统阻尼

适当增加黏性摩擦系数 (b) 或在控制器中引入虚拟阻尼，有助于抑制因摩擦突变引起的振荡和爬行。

2. 外部摩擦建模与补偿

（1）摩擦力前馈补偿

在控制器中加入摩擦力模型（如 (F_0 \cdot \text{sgn}(\omega) + b\omega)），实时补偿摩擦力，尤其是库仑摩擦和黏性摩擦。
通过调节补偿系数 (k)，使补偿力略大于实际摩擦力，帮助系统顺利启动，减少低速爬行。

（2）自适应摩擦补偿

利用自适应算法在线估算摩擦参数，动态调整补偿量，适应摩擦力随工况变化的特性。

（3）鲁棒控制

设计鲁棒控制器（如滑模控制、H∞控制等），增强系统对摩擦不确定性的抑制能力，保证低速下的跟踪性能。

3. 信号处理与微振动法

（1）叠加高频微振动（Dither）

在控制信号中叠加小幅高频信号，使摩擦力平均化，降低静摩擦影响，促使系统平滑启动，减少爬行。

（2）信号滤波与死区处理

对速度或位置反馈信号进行滤波，消除由摩擦引起的高频噪声和微小振荡。
在控制器中设置死区，避免对微小误差的过度响应，减少爬行。

4. 机械结构优化

选用低摩擦材料或润滑剂，优化机械结构，减小静摩擦与动摩擦的差异。
保持传动系统清洁，防止异物或磨损导致摩擦力突变。

5. 参数选择建议

(T_{em}) 选小，(K_d) 选大，提升系统刚度和响应速度。
(k) 选在1.1~1.3，既能克服静摩擦，又避免过度补偿导致抖振。
(b) 适当增大，提升阻尼，抑制振荡。
(F_0) 精确建模，保证补偿效果。

总结表

方法类别	具体措施	作用机制
内部参数优化	提高刚度、响应速度，增大阻尼	快速克服摩擦，抑制爬行
摩擦补偿	前馈补偿、自适应补偿、鲁棒控制	主动抵消摩擦影响
信号处理	微振动法、滤波、死区	平滑信号，减少爬行
机械结构优化	降低摩擦材料、润滑、清洁	减小摩擦力突变