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奈氏准则/奈奎斯特定理如何直观理解2W这个超参数，为什么偏偏就是2呢？

web 2025/6/29 5:38:08

奈氏准则/奈奎斯特定理如何直观理解2W这个超参数

大家好，今天我们来聊一个在数字信号处理领域非常核心的概念——奈奎斯特准则（Nyquist Criterion）。它告诉我们，要完整地捕捉一个信号，我们至少需要多快的采样频率。别担心，我们不讲复杂的数学公式，而是通过一个有趣的故事来直观理解它。

跳绳比赛与老式相机

在这里插入图片描述

现在，呱呱小学举办了一场别开生面的跳绳比赛。参赛选手有几位“重量级”人物：

邻居的儿子小粉：每 2 秒 跳一次绳（频率 $\text{ Hz}$ ）。
校长的儿子小紫：每 4 秒 跳一次绳（频率 $\text{ Hz}$ ）。
书记的儿子小明：每 1 秒 跳一次绳（频率 $\text{ Hz}$ ）。

现在，上头给你派了个艰巨的任务：用一台珍贵的 1987 年黑白胶片相机，在胶卷极其有限的情况下，记录下这场比赛的“视频”。你得盘算盘算，这相机快门得按多快，才能把这场比赛的精彩瞬间都拍下来，而且还得省胶卷！

抓住最快的，就能抓住全部

显然，在这场比赛中，书记的儿子小明是跳得最快的，他每秒跳一次，频率高达 $\text{ Hz}$ 。如果我能用相机完整记录下小明的跳绳过程，那么跳得慢的小粉和小紫自然也能被清晰记录下来。所以，我们的首要任务就是：如何用最少的胶卷，完整地记录下小明的跳绳过程？

为了方便理解，我们可以把小明跳绳的高度抽象成一个周期为 1 秒、非负的波形。他从地面（高度为 0）起跳，在大约 0.5 秒时达到最高点，然后在 1 秒时重新落地。
在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号# 生成1Hz“跳绳高度”数据（非负）
f_max = 1  # 频率 1 Hz
T = 1 / f_max  # 周期 1 秒
time = np.linspace(0, 4 * T, 400) # 4个周期# 高度模拟：从0开始，0.5秒达到最高点，1秒回到0
height = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * time)) / 2plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(time, height, label='小明跳绳高度 (1 Hz)', color='blue')
plt.title('小明跳绳高度随时间变化示意图 (1 Hz)', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1]) # 确保显示高度从0开始
plt.legend()
plt.show()

第一次尝试：1 秒拍一张 ( $\text{ Hz}$ 采样率)

你心想，小明一秒跳一次，那我一秒拍一张照片总行了吧？这样胶卷也省。于是你设置相机快门，每 $1$ 秒拍一张。
在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号# 生成1Hz“跳绳高度”数据（非负）
f_max = 1  # 频率 1 Hz
T = 1 / f_max  # 周期 1 秒
time = np.linspace(0, 4 * T, 400) # 4个周期# 高度模拟：从0开始，0.5秒达到最高点，1秒回到0
height = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * time)) / 2# 采样频率 fs = 1 Hz，即每秒拍一张
fs1 = 1
sample_interval1 = 1 / fs1
sample_times1 = np.arange(0, 4 * T + 0.001, sample_interval1) # 采样点
sampled_heights1 = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * sample_times1)) / 2plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(time, height, label='原始小明跳绳高度 (1 Hz)', color='blue', alpha=0.7)
plt.scatter(sample_times1, sampled_heights1, color='red', zorder=5, s=100, label='采样点 (每1秒拍一张)')
plt.title('采样频率 1 Hz 拍摄小明跳绳', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(sample_times1, sampled_heights1, 'o-', color='red', label='重构的跳绳波形')
plt.title('从 1 Hz 采样点重构的跳绳波形', fontsize=16) 
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()

你兴奋地冲洗照片，结果傻眼了！在你的照片里，小明似乎一直在原地，高度始终为 $0$ ！根本看不出来他跳了多少次绳。这就是著名的混叠（Aliasing）现象。你的采样频率恰好等于信号频率，每次都只拍到小明在最低点（或最高点，取决于相位）的瞬间，完全丢失了中间的变化。

第二次尝试：1.5 秒拍一张 ( $\text{ Hz}$ 采样率)

这下你意识到不对劲了，于是你尝试把快门放慢一点，每 $1.5$ 秒拍一张。
在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号# 生成1Hz"跳绳高度"数据（非负）
f_max = 1  # 频率 1 Hz
T = 1 / f_max  # 周期 1 秒
time = np.linspace(0, 4 * T, 400) # 4个周期# 高度模拟：从0开始，0.5秒达到最高点，1秒回到0
height = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * time)) / 2# 采样频率 fs = 1/1.5 Hz ≈ 0.66 Hz，即每1.5秒拍一张
fs1 = 1/1.5  # 约0.66 Hz
sample_interval1 = 1 / fs1  # 1.5秒
sample_times1 = np.arange(0, 4 * T + 0.001, sample_interval1) # 采样点
sampled_heights1 = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * sample_times1)) / 2# 生成实际观察到的1.5秒周期的波形
observed_time = np.linspace(0, 4 * T, 400)
observed_height = (1 - np.cos(2 * np.pi * (1/3) * observed_time)) / 2  # 3秒周期的波plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(time, height, label='原始小明跳绳高度 (1 Hz)', color='blue', alpha=0.7)
plt.scatter(sample_times1, sampled_heights1, color='red', zorder=5, s=100, label='采样点 (每1.5秒拍一张)')
plt.title('采样频率 0.66 Hz 拍摄小明跳绳', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()# 绘制实际观察到的1.5秒周期的波形
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(observed_time, observed_height, color='red', label='实际观察到的波形 (1.5秒周期)')
plt.scatter(sample_times1, sampled_heights1, color='red', zorder=5, s=100, label='采样点')
plt.title('采样频率不足导致的频率混叠\n(实际观察到的是3秒周期的波形)', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()

你再次冲洗照片，这次更奇怪了！照片显示小明似乎在 $1.5$ 秒时达到最高，然后 $3$ 秒时达到最低，仿佛他跳绳的频率变成了 $\text{ Hz}$ 。这完全不是他真实跳绳的样子！这就是低频混叠，你把一个高频信号错误地看成了低频信号。
在这里插入图片描述

第三次尝试：0.5 秒拍一张 ( $\text{ Hz}$ 采样率)

经历两次失败，你开始思考：一个完整的波形（比如小明跳绳的一个周期），包含了从最低点（落地）到最高点，再回到最低点（再次落地）的过程。也就是说，它有一个 波峰（“山顶”） 和两个关键的 波谷（“山脚”，即落地瞬间）。要完整地捕捉这个波形，至少得抓住这些关键瞬间！

小明跳绳频率是 $\text{ Hz}$ ，一个周期是 $1$ 秒。他从 $0$ 秒落地，在 $0.5$ 秒达到最高点，然后在 $1$ 秒再次落地。这意味着，从一次落地到下一次落地，是 $1$ 秒；而从落地到最高点，只需要半秒 ( $0.5$ 秒)。 为了完整记录他“跳起来”和“落下去”的全过程，我们需要在这半秒内至少捕捉到“落地”和“最高点”这两个关键状态。

你将快门速度设置为每 $0.5$ 秒拍一张（即采样频率 $\text{ Hz}$ ）。
在这里插入图片描述

# 采样频率 fs = 2 Hz，即每0.5秒拍一张
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号# 生成1Hz"跳绳高度"数据（非负）
f_max = 1  # 频率 1 Hz
T = 1 / f_max  # 周期 1 秒
time = np.linspace(0, 4 * T, 400) # 4个周期# 高度模拟：从0开始，0.5秒达到最高点，1秒回到0
height = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * time)) / 2# 采样频率 fs = 2 Hz，即每0.5秒拍一张
fs1 = 2  # 2 Hz
sample_interval1 = 1 / fs1  # 0.5秒
sample_times1 = np.arange(0, 4 * T + 0.001, sample_interval1)  # 采样点
sampled_heights1 = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * sample_times1)) / 2# 生成实际观察到的2 Hz采样下的波形（其实就是原始信号的采样点）
observed_time = np.linspace(0, 4 * T, 400)
observed_height = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * observed_time)) / 2  # 1 Hz周期的波plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(time, height, label='原始小明跳绳高度 (1 Hz)', color='blue', alpha=0.7)
plt.scatter(sample_times1, sampled_heights1, color='red', zorder=5, s=100, label='采样点 (每0.5秒拍一张)')
plt.title('采样频率 2 Hz 拍摄小明跳绳', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()# 绘制实际观察到的波形（2 Hz采样下，能还原1 Hz信号）
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(observed_time, observed_height, color='red', label='实际观察到的波形 (1 Hz周期)')
plt.scatter(sample_times1, sampled_heights1, color='red', zorder=5, s=100, label='采样点')
plt.title('采样频率满足奈氏准则\n(实际观察到的是1秒周期的原始波形)', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()

这次，你终于成功了！照片冲洗出来，虽然有些“粗糙”，但你已经能清晰地看出小明跳绳的节奏和幅度。你成功地记录下了他从落地到最高点，再到下一次落地的完整变化过程，并可以据此重构出他的真实跳绳轨迹。
在这里插入图片描述

第四次尝试：0.25 秒拍一张 ( $\text{ Hz}$ 采样率)

为了让“视频”看起来更流畅，你尝试把快门调得更快，每 $0.25$ 秒拍一张（即采样频率 $\text{ Hz}$ ）。
在这里插入图片描述

# 采样频率 fs = 4 Hz，即每0.25秒拍一张
fs4 = 4
sample_interval4 = 1 / fs4
sample_times4 = np.arange(0, 4 * T + 0.001, sample_interval4)
sampled_heights4 = (1 - np.cos(2 * np.pi * f_max * sample_times4)) / 2plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(time, height, label='原始小明跳绳高度 (1 Hz)', color='blue', alpha=0.7)
plt.scatter(sample_times4, sampled_heights4, color='orange', zorder=5, s=100, label='采样点 (每0.25秒拍一张)')
plt.title('采样频率 $4 \text{ Hz}$ 拍摄小明跳绳', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(sample_times4, sampled_heights4, 'o-', color='orange', label='重构的跳绳波形')
plt.title('从 $4 \text{ Hz}$ 采样点重构的跳绳波形', fontsize=16)
plt.xlabel('时间 (秒)', fontsize=12)
plt.ylabel('相对高度', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend()
plt.show()

这次，你记录的采样点更加密集，重构出的波形也更加平滑，更接近小明真实的跳绳轨迹了！
在这里插入图片描述

实际上，如果我们只是简单采样的话，更高频率的采样，肯定更清晰，但是在现在的技术下，只要你采样频率大于等于2W，就像我之前展示的一样，原始波形是可以被还原的，当然，因为我们是数字世界，我数字也只能还原数字，终归是还原不了模拟信号的。

奈氏准则的“2W”之谜

通过这个跳绳比赛的故事，我们就能直观地理解 奈奎斯特准则 的核心思想了。

小明跳绳的最高频率是 $\text{ Hz}$ ，这相当于我们信号的带宽 $W$ （或最高频率 $f_{max}$ ）。我们发现，要完整捕捉这个 $\text{ Hz}$ 的信号，我们至少需要每 $0.5$ 秒拍一张照片，也就是每秒拍 $2$ 张照片。这个采样频率 $\text{ Hz}$ ，正好是小明跳绳频率 $\text{ Hz}$ 的两倍！

这就是奈奎斯特准则的核心：为了能够不失真地恢复一个频率上限为 $W$ 的信号，采样频率 $f_s$ 必须至少是这个频率上限的两倍，即 $f_s \ge 2W$ 。

为什么是“2”呢？

核心原因就在于信号的周期性变化。一个频率为 $W$ 的信号，它在一个周期内会经历从最低点到最高点，再回到最低点的完整过程。要完整地捕捉这种变化，我们至少需要采集到两个关键信息点：一个能代表**波峰（跳到最高点）的信息，另一个能代表波谷（落地瞬间）**的信息。

对于小明 $\text{ Hz}$ 的跳绳动作来说，一个完整的周期是 $1$ 秒。从落地到最高点，再到下一次落地，这期间需要捕捉的两个关键状态（落地和最高点）在时间上相隔半个周期（ $0.5$ 秒）。因此，在 $1/ W$ 秒（一个周期）的时间内，我们需要至少进行两次采样才能捕捉到这两个独立的信息点。这就意味着，每秒我们需要进行 $2 W$ 次采样。