理解教材意图轻松积累常见数列

教学感悟

以前在传授数列时只是机械的要求学生记住常见的数列，至于“哪些才算是常见的数列？这些数列是怎么来的”，心里比较糊涂，在有一次的教学中，偶然回忆起：函数教学时教材要求掌握一些常见的函数，对比这些数列和函数，心里豁然开朗。有图为证：

比如说特殊的幂函数：$y=x$，$y=x^2$，$y=\frac{1}{x}$；

特殊的指数函数：$y=2^x$，$y=3^x$，$y=10^x$，$\cdots$，

这些函数都是函数教学中比较常见和重要的函数，使用的频度比较高，那么考查以下基于这些函数的数列就是自然而然的事情了。

依托函数

• 基于函数 $y=x^2$的数列，比如说：

数列 $1$，$4$，$9$，$16$，$25$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=n^2$；

数列 $0$，$3$，$8$，$15$，$24$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=n^2-1$；

数列 $2$，$5$，$10$，$17$，$26$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=n^2+1$；

数列 $2$，$6$，$12$，$20$，$30$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=n(n+1)$；

数列 $0$，$2$，$6$，$12$，$20$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=n(n-1)$；

数列 $3$，$15$，$35$，$63$，$99$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=(2n-1)(2n+1)$；

数列 $8$，$24$，$48$，$80$，$120$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=2n(2n+2)$；

• 基于函数 $y=\frac{1}{x}$的数列，比如说：

数列 $1$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=\frac{1}{n}$；

数列 $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\cdots$，归纳总结得到，其通项公式是 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$

数列 $1$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{31}$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=\frac{1}{2^n-1}$；

数列 $1$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{25}$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=\frac{1}{n^2}$；

• 基于函数 $y=2^x$的数列，比如说

数列 $1$，$2$，$4$，$8$，$16$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=2^{n-1}$；

数列 $0$，$1$，$3$，$7$，$15$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=2^{n-1}-1$；

• 基于函数 $y=3^x$的数列，比如说

数列 $1$，$3$，$9$，$27$，$81$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=3^{n-1}$；

数列 $2$，$4$，$10$，$28$，$82$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=3^{n-1}+1$；

• 基于函数 $y=10^x$的数列，比如说

数列 $0.1$，$0.01$，$0.001$，$0.0001$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=(\frac{1}{10}{)}^n$；

数列 $9$，$99$，$999$，$9999$，$99999$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=10^n-1$；

数列 $5$，$55$，$555$，$5555$，$55555$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=\frac{5}{9}(10^n-1)$；

数列 $0.9$，$0.99$，$0.999$，$0.9999$，$\cdots$，其通项公式是 $a_n=1-(\frac{1}{10}{)}^n$；

• 符号数列或者符号因子数列 $\{(-1{)}^k\}$或 $\{(-1{)}^{k+1}\}$

$(-1{)}^k$：$-1$，$1$，$-1$，$1$，$-1$，$1$，$\cdots$，奇数项为负，偶数项为正；

$(-1{)}^{k+1}$：$1$，$-1$，$1$，$-1$，$1$，$-1$，$\cdots$，奇数项为正，偶数项为负；

有了以上的感悟和理解，我们再来看教材，也终于能理解编写者的良苦用意了。

小试牛刀

• 给定数列的前有限项，求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式

考查方法：常以选择填空题形式考查；主要考查观察归纳法，熟练记忆常见数列的通项公式，然后组合即可突破此类问题。

No.1、数列 $\frac{15}{2}$，$-\frac{24}{5}$，$\frac{35}{10}$，$-\frac{48}{17}$，$\frac{63}{26}$，$\cdots$的一个通项公式为 $a_n$=____________；

提示：$a_n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{(n+3{)}^2-1}{n^2+1}$；

No.2、数列 $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{5}{8}$，$\frac{13}{16}$，$-\frac{29}{32}$，$\frac{61}{64}$，$\cdots$，的一个通项公式为 $a_n$=____________；

提示：变形为 $-\frac{2^1-3}{2^1}$，$\frac{2^2-3}{2^2}$，$-\frac{2^3-3}{2^3}$，$\frac{2^4-3}{2^4}$，$-\frac{2^5-3}{2^5}$，$\frac{2^6-3}{2^6}$，

故 $a_n=(-1{)}^n\frac{2^n-3}{2^n}$；

No.3、已知数列的前 $4$项为 $2$，$0$，$2$，$0$，则依次归纳该数列的通项公式不可能是【】

$A.a_n=(-1{)}^{n-1}+1$

分析：选 $C$，由前有限项归纳通项公式，结果可能不唯一；

No.4、数列 $1$，$3$，$6$，$10$，$15$，$\cdots$的一个通项公式为【 \quad 】

$A.a_n=n^2-(n-1)$

分析：

$1=1$；

$3=1+2$；

$6=1+2+3$；

$10=1+2+3+4$；

$\cdots ，\cdots$

所以第 $n$项为 $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，故选 $C$.

No.5、【2021届高三文科二轮资料用题】对大于 $1$ 的自然数的三次幕可以分解成几个奇数的和，比如 $2^3=3+5$，$3^3=7+9+11$，$4^3=13+15+17+19$, $\cdots$， 以此规律，则 $45^3$ 的分解和式中一定不含有【 \quad 】

$A.2069$ $B.2039$ $C.2009$ $D.1979$

解析：观察总结可知， $n^3$ 的分解式有 $n$ 个奇数的和，而

$2^3$ 的展开式中的第一项为 $3=1\times 2+1$；

$3^3$ 的展开式中的第一项为 $7=2\times 3+1$；

$4^3$ 的展开式中的第一项为 $13=3\times 4+1$；

$5^3$ 的展开式中的第一项为 $21=4\times 5+1$；

故归纳总结可知，$45^3$的展开式中的第一项必然为 $44\times 45+1=1981$，

故 $45^3$ 的分解和式中一定不含有 $1979$，故选 $D$.