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threejs 四元数(Quaternion)和欧拉角(Euler)学习

ops 2025/8/5 4:15:05

一.四元数(Quaternion)中四个分量的含义

四元数是一种用于表示3D旋转的数学工具，由四个分量组成，通常表示为 (x, y, z, w) 或 (i, j, k, real)。在Three.js中，THREE.Quaternion类使用(x, y, z, w)的表示形式。

四个分量的详细解释

虚部 (x, y, z)：
- 表示旋转轴的方向向量
- 这个向量会被自动规范化(长度为1)
- 分量的比例决定了旋转轴的方向
- 例如：(1, 0, 0)表示X轴，(0, 1, 0)表示Y轴
实部 (w)：
- 表示旋转的角度(实际上是角度的一半的余弦值)
- 与虚部共同决定旋转量
- 当w=1时表示无旋转(单位四元数)

数学关系

四元数可以表示为：

q = [x, y, z, w] = [sin(θ/2)*axis_x, sin(θ/2)*axis_y, sin(θ/2)*axis_z, cos(θ/2)]

其中：

θ 是旋转角度
[axis_x, axis_y, axis_z] 是旋转轴的单位向量

具体示例

无旋转的单位四元数
```
new THREE.Quaternion(0, 0, 0, 1)
```

2.绕Y轴旋转90度：

// 旋转轴：(0, 1, 0)
// 旋转角度：π/2 (90度)
// 计算：
// x = sin(π/4)*0 = 0
// y = sin(π/4)*1 ≈ 0.707
// z = sin(π/4)*0 = 0
// w = cos(π/4) ≈ 0.707
new THREE.Quaternion(0, 0.7071067811865475, 0, 0.7071067811865476)

可视化理解

可以把四元数想象为：

(x, y, z) 指向旋转轴的方向
w 的大小决定了旋转的角度
四元数的长度(模)总是1(单位四元数)

在Three.js中的实际应用

// 创建一个绕(1,1,0)轴旋转45度的四元数
const axis = new THREE.Vector3(1, 1, 0).normalize();
const angle = Math.PI / 4; // 45度
const quaternion = new THREE.Quaternion();quaternion.setFromAxisAngle(axis, angle);console.log(quaternion);
// 输出类似：Quaternion {x: 0.22, y: 0.22, z: 0, w: 0.92}
// 其中x,y,z是旋转轴分量(已规范化)，w是角度分量

重要特性

单位长度：
所有表示旋转的四元数都应该是单位四元数：
```
x² + y² + z² + w² = 1
```

2.规范化：
如果手动修改了四元数值，应该调用：

quaternion.normalize();

3.逆四元数：
表示相反旋转的四元数可以通过取共轭获得：

const inverse = quaternion.clone().conjugate();

理解四元数的四个分量含义有助于在3D编程中更有效地使用它们，特别是在需要精确控制旋转或进行复杂旋转运算时。

二.欧拉角(Euler Angle)三个分量的含义

在Three.js中，欧拉角使用THREE.Euler类表示，由三个分量(x, y, z)组成，分别表示绕三个轴的旋转角度。

三个分量的具体含义

x分量：
- 表示绕X轴的旋转角度（俯仰角/Pitch）
- 正值：物体向前倾斜（低头）
- 负值：物体向后倾斜（抬头）
y分量：
- 表示绕Y轴的旋转角度（偏航角/Yaw）
- 正值：物体向右转
- 负值：物体向左转
z分量：
- 表示绕Z轴的旋转角度（滚转角/Roll）
- 正值：物体顺时针旋转
- 负值：物体逆时针旋转

旋转顺序的重要性

欧拉角的旋转顺序非常重要，Three.js默认使用"XYZ"顺序：

const euler = new THREE.Euler(x, y, z, 'XYZ');

其他可能的顺序包括：'YXZ'、'ZXY'、'ZYX'、'YZX'、'XZY'等。不同顺序会导致完全不同的最终旋转结果。

实际示例

// 创建一个绕X轴旋转45度，Y轴旋转30度的欧拉角
const euler = new THREE.Euler(Math.PI/4,    // X轴旋转45度 (π/4弧度)0.523598776,  // Y轴旋转30度 (约0.52弧度)0,            // Z轴不旋转'XYZ'         // 旋转顺序
);// 应用到物体
mesh.rotation.copy(euler);

万向节锁问题

当绕第二个轴旋转±90度时，会出现万向节锁现象，导致失去一个旋转自由度。例如：

在"XYZ"顺序下，当Y轴旋转90度时，X和Z轴的旋转会变得相同

与四元数的对比

特性	欧拉角	四元数
表示方式	三个角度值	四个数值(x,y,z,w)
直观性	高	低
万向节锁	存在	不存在
插值	线性插值不自然	球面插值(Slerp)平滑
组合旋转	顺序敏感，计算复杂	简单四元数乘法

使用建议

适合使用欧拉角的场景：
- 简单的单轴旋转
- 需要直观角度控制的编辑器工具
- 不需要复杂旋转组合的情况
应避免使用欧拉角的情况：
- 需要绕任意轴旋转
- 需要平滑的旋转动画
- 需要避免万向节锁的复杂旋转

理解欧拉角三个分量的含义对于正确控制3D物体的旋转至关重要，特别是在需要精确控制物体朝向的应用中。

三.四元数(Quaternion)与欧拉角(Euler)的区别

四元数和欧拉角都是表示3D旋转的方式，但它们在实现和特性上有显著差异。以下是两者的主要区别：

1. 数学表示

欧拉角：

使用三个角度值表示旋转（通常为x, y, z）
例如：new THREE.Euler(0.5, 0.2, 0.1) 表示绕x轴旋转0.5弧度，y轴0.2弧度，z轴0.1弧度

四元数：

使用四个数值(x, y, z, w)表示旋转
例如：new THREE.Quaternion(x, y, z, w)

2. 万向节锁(Gimbal Lock)问题

欧拉角：

存在万向节锁问题，当某个轴的旋转达到90度时，会失去一个自由度
导致旋转行为不符合预期

四元数：

不存在万向节锁问题
可以表示任意旋转而不丢失自由度

3. 插值效果

欧拉角：

线性插值可能导致旋转路径不自然
旋转动画可能出现抖动或突变

四元数：

可以使用球面线性插值(Slerp)
旋转动画平滑自然

4. 计算复杂度

欧拉角：

计算简单，直观易懂
适合简单的旋转操作

四元数：

计算相对复杂
但组合旋转（四元数乘法）效率更高

5. 使用场景对比

特性	欧拉角	四元数
直观性	高（直接对应轴旋转角度）	低（数学抽象）
万向节锁	有	无
插值效果	差	优
组合旋转	顺序依赖，计算复杂	简单乘法运算
存储空间	3个值	4个值
规范化	不需要	需要保持单位长度

实际应用建议

1.使用欧拉角当：

需要直观的角度控制（如编辑器中的旋转工具）
进行简单的单轴旋转

不需要复杂旋转组合或插值

// 欧拉角简单旋转示例
mesh.rotation.x = Math.PI/4; // 绕X轴旋转45度

2.使用四元数当：

理解这两种旋转表示方式的差异，可以帮助你在Three.js开发中选择最适合特定场景的旋转方法

需要避免万向节锁
进行复杂的旋转组合
需要平滑的旋转动画

绕任意轴旋转

// 四元数旋转示例
const axis = new THREE.Vector3(1, 1, 0).normalize();
const angle = Math.PI/3; // 60度
mesh.quaternion.setFromAxisAngle(axis, angle);

转换关系

两者可以相互转换：

// 欧拉角转四元数
const euler = new THREE.Euler(0.5, 0.2, 0.1);
const quat = new THREE.Quaternion().setFromEuler(euler);// 四元数转欧拉角
const newEuler = new THREE.Euler().setFromQuaternion(quat);