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计数组合学7.9（标量积)

ops 2025/8/3 2:50:16

7.9 标量积

迄今为止，我们一直在研究具有多个特定基的分次代数 $Λ\Lambda$ 。现在，我们希望为 $Λ\Lambda$ 添加标量积（即双线性形式 $Λ×Λ→Q\Lambda \times \Lambda \to \mathbb{Q}$ ）的额外结构，记作 $⟨,⟩\langle , \rangle$ 。若 ${u_i\}$ 和 ${v_j\}$ 是向量空间 $V$ 的基，则通过指定 $⟨ui,vj⟩\langle u_i, v_j \rangle$ 的值可以唯一确定 $V$ 的标量积。特别地，若对所有 $i$ 和 $j$ 有 $⟨ui,vj⟩=δij\langle u_i, v_j \rangle = \delta_{ij}$ （Kronecker delta），则称 ${u_i\}$ 和 ${v_j\}$ 为 对偶基。现在我们通过要求 ${mλ}\{m_\lambda\}$ 和 ${hμ}\{h_\mu\}$ 为对偶基来定义 $Λ\Lambda$ 上的标量积，即对所有 $λ,μ∈Par\lambda, \mu \in \mathrm{Par}$ ，

$\langle m_\lambda, h_\mu \rangle = \delta_{\lambda\mu}, \tag{7.30}$

此定义的动机将在后续性质的发展中逐渐明晰。首先注意到 $⟨,⟩\langle , \rangle$ 保持了 $Λ\Lambda$ 的分次性，即若 $f$ 和 $g$ 是齐次的，则除非 $deg⁡f=deg⁡g\deg f = \deg g$ ，否则 $⟨f,g⟩=0\langle f, g \rangle = 0$ 。

以下一系列结果将阐明标量积 $⟨,⟩\langle , \rangle$ 的本质。

7.9.1 命题
标量积 $⟨,⟩\langle , \rangle$ 是对称的，即对所有 $\in \Lambda$ 有 $⟨f,g⟩=⟨g,f⟩\langle f, g \rangle = \langle g, f \rangle$ 。

证明：此结果等价于推论 7.5.2。具体而言，通过线性性只需对 $Λ\Lambda$ 的某些基 ${f\}$ 和 ${g\}$ 证明 $⟨f,g⟩=⟨g,f⟩\langle f, g \rangle = \langle g, f \rangle$ 。取 ${f}={g}={hλ}\{f\} = \{g\} = \{h_\lambda\}$ ，则

$\langle h_\lambda, h_\mu \rangle = \langle \sum_v N_{\lambda v} m_v, h_\mu \rangle = N_{\lambda\mu}. \tag{7.31}$

由推论 7.5.2 知 $Nλμ=NμλN_{\lambda\mu} = N_{\mu\lambda}$ ，因此 $⟨hλ,hμ⟩=⟨hμ,hλ⟩\langle h_\lambda, h_\mu \rangle = \langle h_\mu, h_\lambda \rangle$ ，证毕。∎

以下引理是验证某类对称函数正交性的基本工具，其证明是线性代数的直接练习，省略不影响理解。

7.9.2 引理
设 ${uλ}\{u_\lambda\}$ 和 ${vλ}\{v_\lambda\}$ 是 $Λ\Lambda$ 的基，且对所有 $λ⊢n\lambda \vdash n$ 有 $uλ,vλ∈Λnu_\lambda, v_\lambda \in \Lambda^n$ 。则 ${uλ}\{u_\lambda\}$ 和 ${vλ}\{v_\lambda\}$ 是对偶基当且仅当

$\sum_\lambda u_\lambda(x) v_\lambda(y) = \prod_{i,j} (1 - x_i y_j)^{-1}.$

证明：记 $mλ=∑ρξλρuρm_\lambda = \sum_\rho \xi_{\lambda\rho} u_\rho$ 且 $hμ=∑vημvvvh_\mu = \sum_v \eta_{\mu v} v_v$ ，则

$\delta_{\lambda\mu} = \langle m_\lambda, h_\mu \rangle = \sum_{\rho,v} \xi_{\lambda\rho} \eta_{\mu v} \langle u_\rho, v_v \rangle. \tag{7.32}$

对每个固定的 $\geq 0$ ，将 $ξ\xi$ 和 $η\eta$ 视为以 $Par(n)\mathrm{Par}(n)$ 为索引的矩阵，并令 $A$ 为满足 $Aρv=⟨uρ,vv⟩A_{\rho v} = \langle u_\rho, v_v \rangle$ 的矩阵。则 (7.32) 等价于 $\xi A \eta^t$ ，其中 $^t$ 表示转置， $I$ 为单位矩阵。因此：

$\{u_\lambda\} \text{ 和 } \{v_\mu\} \text{ 是对偶基} \iff A = I$
$\iff I = \xi \eta^t$
$\iff I = \xi^t \eta$
$\iff \delta_{\rho v} = \sum_\lambda \xi_{\lambda\rho} \eta_{\lambda v}. \tag{7.33}$

由命题 7.5.3 知

$\prod_{i,j} (1 - x_i y_j)^{-1} = \sum_\lambda m_\lambda(x) h_\lambda(y)$
$\sum_\lambda \left( \sum_\rho \xi_{\lambda\rho} u_\rho(x) \right) \left( \sum_v \eta_{\lambda v} v_v(y) \right)$
$\sum_{\rho,v} \left( \sum_\lambda \xi_{\lambda\rho} \eta_{\lambda v} \right) u_\rho(x) v_v(y).$

由于幂级数 $uρ(x)vv(y)u_\rho(x) v_v(y)$ 在 $Q\mathbb{Q}$ 上线性无关，结合 (7.33) 即得证。∎

7.9.3 命题
设 ${pλ}\{p_\lambda\}$ 是 $Λ\Lambda$ 的基，则 ${pλ}\{p_\lambda\}$ 和 ${pμ/zμ}\{p_\mu / z_\mu\}$ 是对偶基，其中 $zμ=⟨pμ,pμ⟩z_\mu = \langle p_\mu, p_\mu \rangle$ 。
我们有

$\langle p_\lambda, p_\mu \rangle = z_\lambda \delta_{\lambda\mu}. \tag{7.34}$

因此， $pλp_\lambda$ 构成 $Λ\Lambda$ 的正交基。（它们不构成标准正交基，因为 $⟨pλ,pλ⟩≠1\langle p_\lambda, p_\lambda \rangle \neq 1$ 。）

证明：由命题 7.7.4 和引理 7.9.2 可知， ${pλ}\{p_\lambda\}$ 和 ${pμ/zμ}\{p_\mu / z_\mu\}$ 是对偶基，这等价于 (7.34)。∎

长度 $∥pλ∥=⟨pλ,pλ⟩1/2=zλ1/2\|p_\lambda\| = \langle p_\lambda, p_\lambda \rangle^{1/2} = z_\lambda^{1/2}$ 通常不是有理数。因此，元素 $pλ/∥pλ∥p_\lambda / \|p_\lambda\|$ 构成 $ΛR\Lambda_{\mathbb{R}}$ 的标准正交基，但不属于 $Λ\Lambda$ （因为它们不在 $Λ\Lambda$ 中）。自然的问题是： $Λ\Lambda$ 是否存在“自然”的标准正交基？更进一步， $Λ\Lambda$ 是否存在整数标准正交基，即是否存在标准正交基 ${bλ}\{b_\lambda\}$ 使得每个 $bλb_\lambda$ 是 $mμm_\mu$ 的整数线性组合，且反之每个 $mμm_\mu$ 也是 $bλb_\lambda$ 的整数线性组合？这样的基将是 $ΛZ\Lambda_{\mathbb{Z}}$ （作为阿贝尔群）的基。在第 7.10–7.17 节中，我们将构造这样的基（参见推论 7.12.2），并推导其许多显著的组合性质。