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第10讲——一元函数积分学的几何应用

文章目录

    • 定积分计算平面图形的面积
      • 直角坐标系下
      • 参数方程下
      • 极坐标系下
    • 定积分计算旋转体的体积
      • 曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积
      • 曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积
      • 平面曲线绕定直线旋转
    • 定积分计算函数的平均值
    • 定积分计算平面光滑曲线的弧长
    • 曲线L绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积
    • 形心坐标公式(几乎没考过)

今日开篇:应该有更好的方式开始新的一天,而不是千篇一律地在每个上午醒来。

定积分计算平面图形的面积

直角坐标系下

用矩形的面积,近似代替曲边梯形的面积。
在这里插入图片描述

参数方程下

很少见,目前没有见到过,但是一般都采用换元法。

极坐标系下

用三角形面积近似代替扇形的面积,然后求扇形面积之差就是曲边扇形的面积。
在这里插入图片描述

  • 求曲线y=e−xsinxy=e^{-x}sinxy=exsinx(x≥0)与x轴所围平面图形的面积。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

定积分计算旋转体的体积

曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积

微元法,将其看作是小圆柱体的“积分”。
在这里插入图片描述

曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积

柱壳法,将其看成是圆柱壳的“积分”。
在这里插入图片描述将圆柱壳沿着任何一条竖线剪开,可展开为一个“长方体”,其体积为dVy=2πx∣y(x)∣dxdV_y=2πx|y(x)|dxdVy=2πxy(x)dx
所以旋转体的体积为:Vy=2π∫abx∣y(x)∣dxV_y=2π\int_a^bx|y(x)|dxVy=2πabxy(x)dx

平面曲线绕定直线旋转

设平面曲线L:y=f(x),a≤x≤bL:y=f(x),a≤x≤bL:y=f(x),axb,且f(x)可导。
定直线L0:Ax+By+C=0,且过L0L_0:Ax+By+C=0,且过L_0L0:Ax+By+C=0L0的任一条垂线与L至多有一个交点,如下图所示,则L绕L0L_0L0旋转一周所得旋转体的体积为:
在这里插入图片描述
遇到问题了怎么办?一言以蔽之,就是套这个公式。

定积分计算函数的平均值

在这里插入图片描述
一共有两种方法,第一种方法是正常思路,但需利用题目中给出的等式条件;第二种方法比较难想到,利用等式构造变限积分。
在这里插入图片描述
第二种可能需要受到周期函数的启发。

在这里插入图片描述

定积分计算平面光滑曲线的弧长

一共可以分为以下三种情况:

  • 直角坐标系下
    也可以对y积分,相当于换元:∫cd1+(dxdy)2dy\int_c^d\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dycd1+(dydx)2dy,这里的积分区间是[a,b]对应的区间。
  • 参数方程后
  • 极坐标方程
    本质上还是微元法和换元。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

曲线L绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积

和上面的弧长一样,也是分为平面直角坐标系、参数方程、极坐标系。
还是微元法dA=2π|y|ds,这里的ds是指对应一段曲线的弧长。

  • 直角坐标系
  • 参数方程
  • 极坐标系
    在这里插入图片描述

形心坐标公式(几乎没考过)

在这里插入图片描述

http://www.xdnf.cn/news/15197.html

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