时域与频域信号特性分析——DFT归一化与双边谱合并分析

时域与频域信号特性分析

直流信号与正弦信号的定义

直流信号

时域表现：恒定值信号，例如：
$$x[n]=1\text{（所有时间点取值为1）}$$

频域表现：DFT仅在零频率处有非零值：
$$X[k]=\{\begin{array}{ll}N& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}$$

正弦信号

时域表现：振荡波形，例如：
$$x[n]=\cos (2\pi fn)$$

频域表现：DFT在正负频率处有峰值：
$$|X[f]|=|X[-f]|=\frac{N}{2}$$

归一化功率分析

直流信号案例

$$\begin{array}{rl}\text{归一化功率}& =\frac{|X[0]{|}^2}{N^2}=\frac{N^2}{N^2}=1\\ \text{时域功率}& =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=1\end{array}$$

正弦信号案例

$$\begin{array}{rl}\text{单边功率}& =\frac{|X[f]{|}^2}{N^2}=\frac{(N/2{)}^2}{N^2}=\frac{1}{4}\\ \text{总功率}& =2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \text{时域功率}& =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{\cos }^2(2\pi fn)=\frac{1}{2}\end{array}$$

关键特性对比

信号类型	时域表现	频域表现	归一化功率(单边)
直流信号	$x[n]=1$	$X[0]=N$, 其他为0	$\frac{N^2}{N^2}=1$
正弦信号	$\cos (2\pi fn)$	$X[\pm f]=\frac{N}{2}$	$\frac{(N/2{)}^2}{N^2}=\frac{1}{4}$

结论

• 除以$N^2$的归一化对直流信号严格成立（时域幅值1 ⇒ 频域功率1）
• 对正弦信号需考虑双边谱功率叠加（$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$）
• 归一化建立了时域单位幅值与频域功率的直接映射关系

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DFT归一化与双边谱合并分析

DFT双边谱特性

对于实数信号的离散傅里叶变换(DFT)，其频域结果具有共轭对称性：
$$X[k]=X^{\ast }[-k]\text{(负频率分量是正频率的共轭)}$$
其中能量分布在正负频率上，例如正弦波的能量出现在$k$和$N-k$两个位置。

双边谱合并判断

需要合并的情况

• 分析总功率时需合并正负频率能量
• 物理功率计算要求单边谱表示

无需合并的情况

• 需要观察完整频谱对称性
• 处理复数信号（无双边对称性）

算法实现

保留双边谱（默认）

# 输入: fft为DFT结果，N为信号长度
# 输出: 归一化双边功率谱
normalized_spectra = [np.abs(fft)**2 / (N**2) for fft in spectra]

合并为单边谱

def normalize_to_onesided(fft, N):# 初始化单边谱（取前N/2+1个点）spectrum = np.abs(fft[:N//2 + 1])**2 / (N**2)# 正频率能量乘2（排除直流和Nyquist）spectrum[1:-1] *= 2# 处理直流分量spectrum[0] /= 2# 处理Nyquist频率（当N为偶数）if N % 2 == 0:spectrum[-1] /= 2return spectrum

数学验证

对于时域信号$x[n]=\cos (2\pi fn)$：
$$\begin{array}{rl}\text{双边谱峰值}& =\frac{1}{4}\text{(在k=f和k=N−f处)}\\ \text{单边功率}& =2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \text{时域平均功率}& =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{2}\end{array}$$

实现注意事项

• 直流分量($k=0$)和Nyquist频率($k=N/2$)需单独处理
• 复数信号需采用不同处理逻辑
• 实际应用推荐使用单边谱表示：
  $$P_{\text{单边}}[k]=\{\begin{array}{ll}\frac{|X[0]{|}^2}{N^2}& k=0\\ \frac{2|X[k]{|}^2}{N^2}& 1\le k\le N/2-1\\ \frac{|X[N/2]{|}^2}{N^2}& k=N/2\text{(偶数N)}\end{array}$$