算法训练营day37 动态规划⑤ 完全背包 518. 零钱兑换 II、 377. 组合总和 Ⅳ、70. 爬楼梯 （进阶）

        动态规划的第五篇博客！今天讲完全背包，排列组合的理解！

        对于上一篇博客的494题，我之前的理解存在误区，更正的理解在本篇博客518题后续的对于递推公式理解的补充

完全背包

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

        完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

        在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：背包最大重量为4，物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

• 确定dp数组以及下标的含义

        因为有两个维度需要分别表示：物品 和 背包容量

        dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

• 确定递推公式

        求取 dp[1][4] 有两种情况：

1. 放物品1
2. 还是不放物品1

        如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。

        而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]

        所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：

        以上过程，抽象化如下：

1. 不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。

2. 放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

        递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

• dp数组如何初始化

        首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

        dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

        那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个。

• 确定遍历顺序

        都可以，先遍历物品再遍历背包更好理解一些

• 举例推导dp数组

        略

def knapsack(n, bag_weight, weight, value):# n 行 (物品种类)# bag_weight (行李总重量)# weight (单个物品重量)# value (单个物品价值)dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]# 行宽列宽要注意# 初始化 很巧妙的方法, 通过其他的位置来赋值for j in range(weight[0], bag_weight + 1):dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]# 动态规划for i in range(1, n):for j in range(bag_weight + 1):if j < weight[i]:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])return dp[n - 1][bag_weight]# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):w, v = map(int, input().split())weight.append(w)value.append(v)# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))

完全背包的一维理解

        遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

        遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

        对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

        但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

        下列代码实现使用先遍历背包的方式，在上图中体现为纵向实现，和之前的01背包的1维数组的实现存在差别！

def complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value):dp = [0] * (bag_weight + 1)for j in range(bag_weight + 1):  # 遍历背包容量for i in range(len(weight)):  # 遍历物品if j >= weight[i]:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])return dp[bag_weight]# 输入
N, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(N):w, v = map(int, input().split())weight.append(w)value.append(v)# 输出结果
print(complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value))

518. 零钱兑换 II

        我感觉这个类似于组合问题了，类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。这是典型的背包问题！

        但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

• 确定dp数组以及下标的含义

        定义二维dp数值 dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的coins[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种组合方法。

• 确定递推公式（后续补充）

        所以本题递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]

        两点理解1.对于目标和求组合逻辑的理解2.对于完全背包的理解

• dp数组如何初始化

        那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，dp[i][0] 都初始化为1

• 确定遍历顺序

        二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的（组合问题）。先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:dp = [0]*(amount + 1)dp[0] = 1# 遍历物品for i in range(len(coins)):# 遍历背包for j in range(coins[i], amount + 1):dp[j] += dp[j - coins[i]]# 回归dp数组的本身含义return dp[amount]

对于上题递推公式的补充

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）全1背景↓：

• 容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢？

        就是3上面的1

• 容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢？

        就是3上面一行，-num[i]的数值，因为会加物品2 

抽象出来就是：

• 不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。

• 放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。

        本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。

        递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

377. 组合总和 Ⅳ

        本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！（如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

• 确定dp数组以及下标的含义

        dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

• 确定递推公式

        递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

• dp数组如何初始化

        因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

• 确定遍历顺序

        如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

        如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

        如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

        所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution:def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:dp = [0] * (target + 1)dp[0] = 1for i in range(1, target + 1):  # 遍历背包for j in range(len(nums)):  # 遍历物品if i - nums[j] >= 0:dp[i] += dp[i - nums[j]]return dp[target]

70. 爬楼梯 （进阶）

        这其实是一个完全背包问题。1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

• 确定dp数组以及下标的含义

        dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

• 确定递推公式

        求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

        那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

• dp数组如何初始化

        既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

• 确定遍历顺序

        这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

        每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

def climbing_stairs(n,m):dp = [0]*(n+1) # 背包总容量dp[0] = 1 # 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内for j in range(1,n+1):for i in range(1,m+1):if j>=i:dp[j] += dp[j-i] # 这里i就是重量而非indexreturn dp[n]if __name__ == '__main__':n,m = list(map(int,input().split(' ')))print(climbing_stairs(n,m))