PyTorch 中torch.einsum函数的使用详解和工程应用示例

torch.einsum 是 PyTorch 中非常强大的函数，用于 灵活定义张量的乘法、求和、转置、点乘、外积等各种线性代数操作。它源自 Einstein Summation（爱因斯坦求和约定），是一种更紧凑、可读性更强的多维操作方式。

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函数原型

torch.einsum(equation, *operands)

• equation: 字符串，定义操作规则。
• operands: 一个或多个 Tensor，参与运算的张量。

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爱因斯坦求和规则简要

在 equation 中：

• 字母表示张量的维度；
• 重复的字母表示该维度将被求和；
• 不重复的字母表示结果张量保留的维度。

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常见用途与示例

1. 向量内积（dot product）

a = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
b = torch.tensor([0.1, 0.2, 0.3])
res = torch.einsum('i,i->', a, b)
print(res)  # 输出：1.4

解释：i,i-> 表示对所有 i 求乘积再求和。

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2. 矩阵乘法（matrix multiplication）

A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)
print(C.shape)  # torch.Size([2, 4])

相当于 torch.matmul(A, B)

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3. 矩阵向量乘法

A = torch.randn(3, 4)
x = torch.randn(4)
y = torch.einsum('ij,j->i', A, x)
print(y.shape)  # torch.Size([3])

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4. 批量矩阵乘法

A = torch.randn(5, 2, 3)  # batch_size=5
B = torch.randn(5, 3, 4)
C = torch.einsum('bij,bjk->bik', A, B)
print(C.shape)  # torch.Size([5, 2, 4])

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5. 转置（矩阵维度调换）

A = torch.randn(3, 4)
B = torch.einsum('ij->ji', A)
print(B.shape)  # torch.Size([4, 3])

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6. 外积（outer product）

a = torch.tensor([1.0, 2.0])
b = torch.tensor([10.0, 20.0, 30.0])
res = torch.einsum('i,j->ij', a, b)
print(res)
# 输出形状为 (2, 3)

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7. 计算每个 batch 的向量 L2 范数平方

x = torch.randn(32, 128)  # batch_size=32, dim=128
norm_sq = torch.einsum('bi,bi->b', x, x)

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8. 计算注意力权重矩阵

q = torch.randn(32, 8, 64)  # query: batch, head, dim
k = torch.randn(32, 8, 64)
attn_scores = torch.einsum('bhd,bhd->bh', q, k)

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工程应用示例

图邻接矩阵传播（Graph Adjacency Propagation）通常用于图神经网络（GNN）中，表示将节点特征通过邻接结构进行消息传递（message passing）或特征聚合（feature aggregation）的过程。
我们将使用 torch.einsum 实现这个过程。

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1. 图邻接传播的数学表达

设：

• $A\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$：邻接矩阵（可选归一化）
• $X\in {\mathbb{R}}^{N\times F}$：节点特征矩阵（N 个节点，每个有 F 维特征）
• $AX$：每个节点从邻居节点聚合特征

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2. PyTorch 示例代码（einsum 实现）

import torch# 假设图有 4 个节点，每个节点有 3 维特征
X = torch.tensor([[1.0, 0.5, 2.0],[0.3, 1.2, 0.7],[0.8, 0.1, 1.1],[0.0, 0.3, 0.4]])  # (4, 3)# 邻接矩阵 A（可为稀疏或归一化矩阵）
A = torch.tensor([[1, 1, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[0, 1, 1, 1],[0, 0, 1, 1]], dtype=torch.float32)  # (4, 4)# 使用 torch.einsum 进行图传播 AX
# 'ij,jk->ik'：A(i,j) * X(j,k) → 输出 (i,k)
X_agg = torch.einsum('ij,jk->ik', A, X)print("聚合后的特征：")
print(X_agg)

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3. 加权传播（带权重）

若有可学习的线性层 $W\in {\mathbb{R}}^{F\times F^{\prime }}$，传播过程变为：

$$AXW$$

代码示例：

# W 是可学习的线性变换
W = torch.nn.Linear(in_features=3, out_features=2, bias=False)# XW: 节点特征线性变换
X_transformed = W(X)  # (4, 2)# 再传播
X_out = torch.einsum('ij,jk->ik', A, X_transformed)print("传播后的新特征维度：", X_out.shape)

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4. 扩展到 Batch 形式（多个图）

设：

• X: (B, N, F) — batch_size 个图，每图 N 节点 F 维特征
• A: (B, N, N) — batch 的邻接矩阵

# B 个图，每图 4 节点，每个节点 3 维特征
X = torch.randn(8, 4, 3)       # (B, N, F)
A = torch.eye(4).repeat(8, 1, 1)  # (B, N, N)# 批量邻接传播
X_agg = torch.einsum('bij,bjf->bif', A, X)  # 输出 (B, N, F)

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5. 总结

操作	einsum 表达	说明
图传播（AX）	'ij,jk->ik'	基础图邻接传播
批量传播	'bij,bjf->bif'	批次图传播
权重传播	AX @ W or 'ij,jk->ik' then Linear	加入特征变换

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为什么用 einsum？

• 替代嵌套的 permute + view + matmul；
• 更接近数学表达；
• 性能有时更优；
• 可用于写清晰的复杂操作，如 self-attention、卷积、图神经网络等。

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小技巧

• einsum_path 可用于优化路径选择：

torch.einsum_path('bij,bjk->bik', A, B, optimize='optimal')

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总结

功能	示例公式
向量点积	'i,i->'
矩阵乘法	'ik,kj->ij'
外积	'i,j->ij'
转置	'ij->ji'
batch matmul	'bij,bjk->bik'
L2 norm square	'bi,bi->b'