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F(x, y, z) = 0 隐函数微分确定自变量

java 2025/6/23 19:07:06

多元隐函数偏导的通用公式：

设一个隐函数由三元函数定义：

$F (x, y, z) = 0$

且假设 $z = z (x, y)$ ，即 $z$ 是 $x, y$ 的函数，满足这个等式恒成立。则有以下公式：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

我们来详细推导一下这个通用结果。

✅ 一、基本思路：全微分 + 链式法则

我们把 $z = z (x, y)$ 看成隐式给出的函数。由于

$F (x, y, z (x, y)) = 0$

恒成立，我们对这个方程两边对 $x$ 、 $y$ 分别求偏导，使用链式法则。

✅ 二、对 $x$ 求偏导

$\frac{\partial}{\partial x} F(x, y, z(x, y)) = 0$

用链式法则展开：

$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

即：

$F_x + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$

✅ 三、对 $y$ 求偏导

同理，

$\frac{\partial}{\partial y} F(x, y, z(x, y)) = 0 \Rightarrow F_y + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

✅ 四、注意条件

要求 $F$ 在某点连续可微；
并且 $F_z \ne 0$ ，即对 $z$ 偏导不为零；
这确保了我们可以用隐函数定理，在局部可以将 $z$ 写成 $x, y$ 的函数。

✅ 五、总结

多元隐函数的偏导公式：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

是由链式法则推导出来的，适用于 $F (x, y, z) = 0$ 给出 $z = z (x, y)$ 的情形，本质是“复合函数求导 + 方程恒成立”。

疑问

你的问题是：

已知 $F (x, y, z (x, y)) = 0$ ，为什么对 $x$ 求偏导时写成

$F_x + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$

而没有 $F_y \cdot \frac{\partial y}{\partial x}$ 那一项？

✅ 回答：因为 $y$ 是自变量，不是 $x$ 的函数！

🔍 详细解释：

在隐函数 $F (x, y, z (x, y)) = 0$ 中， $z$ 是 $x, y$ 的函数，但 $x$ 和 $y$ 是彼此独立的变量。我们将 $F$ 看成如下复合函数：

$F (x, y, z (x, y))$

在这个表达式中：

$x$ ：自变量
$y$ ：自变量
$z$ ：由 $x, y$ 决定，即 $z = z (x, y)$

🧮 对 $x$ 求偏导使用链式法则：

$\frac{\partial}{\partial x} F(x, y, z(x, y)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$

因为：

$\frac{\partial F}{\partial x}$ ：直接对 $x$ 求偏导；
$\frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$ ：间接影响，因为 $z$ 是 $x$ 的函数；
$y$ 是常量，对 $x$ 偏导时 $\frac{\partial y}{\partial x} = 0$ ，不出现任何 $F_y$ 项。