案例分析|棘轮行为有限元分析

1、问题的描述

假设该模型为平面应力模型，薄板的厚度为0.002m，薄板弹性模量为1.496E11Pa，泊松比为0.33，使用1参数Chaboche随动强化模型考虑材料的弹塑性力学响应，其中屈服应力（Yield Stress）为1.53E8Pa，材料参数C1为6.2511E10Pa，材料参数γ1为201。

在薄板的对称边上施加无摩擦位移约束，然后在薄板顶端施加交变载荷P，交变载荷P的表达式为5E7+10E7*Sin(3*time)，单位为Pa，整体求解时间为1500s。

2、弹塑性材料模型

• 弹性回顾:

• 讨论塑性之前，先回顾一下金属的弹性。

– 弹性响应中，如果产生的应力低于材料的屈服点，卸载时材料可完全恢复到原来的形状。

– 从金属的观点看，这种行为是因为延伸但没有破坏原子间化学键。因为弹性是由于原子键的延伸，所以是完全可恢复的。而且这些弹性应变往往是小的。

– 金属的弹性行为最常用虎克定律的应力应变关系描述:

延性金属中也会遇到非弹性或塑性响应。

超过屈服应力是塑性区域，塑性区域中卸载后残留一部分永久变形。

如果考虑在分子层次上发生了什么，塑性变形是由于剪切应力(偏差应力)引起的原子平面间的滑移引起的。位错运动的实质是晶体结构中的原子重新排列得到新的相邻元素,  从而导致不可恢复塑性应变。

值得注意的是,  与弹性不同, 滑移不会引起任何体积应变 (不可压缩条件)。

- 因为塑性处理由于位移引起的能量损失，所以它是非保守(路径相关) 过程。

- 延性金属支持比弹性应变大得多的塑性应变。

- 弹性变形实质上独立于塑性变形，因此产生的超过屈服点的应力仍产生弹性和塑性应变。因为假设塑性应变不可压缩，所以材料响应随着应变增加变为几乎不可压缩 。

率无关塑性:

• 如果材料响应和载荷速率或变形速率无关，称材料为率无关。

– 低温时(< 1/4 或1/3 的熔点温度)大多数材料呈现率无关行为和低应变速率。

– 蠕变和粘塑性处理金属中率相关塑性。

工程和真实应力应变:

-工程应力-应变用于小应变分析，但对于塑性必须用真实应力-应变，因为它们是材料状态更具代表性的度量。

如果引入工程应力-应变数据，则可以用下面的公式把这些值转换为真实应力-应变:

达到屈服应变的两倍以前:

发生颈缩以前:

超过颈缩:
在颈缩处没有工程和真实应力-应变转换公式。必须测量瞬时的横截面。

注意，仅对应力转换，有以下假设:

材料是不可压缩的 (大应变可接受的近似值)

假设试样横截面的应力均匀分布。

屈服准则:

屈服准则用于把多轴应力状态和单轴情况联系起来。

-试样的拉伸实验提供单轴数据，可以绘制成一维应力-应变曲线，已在前面介绍过。

-实际结构一般是多轴应力状态。屈服准则提供材料应力状态的标量不变量，可以和单轴情况对比。

常用的屈服准则是von Mises 屈服准则  (也称为八面体剪切应力或变形能准则)。von Mises 等效应力定义为:

写成矩阵形式

式中 {s} 是偏差应力， sm 是静水应力

应力状态可分解为静水压力(膨胀)和偏差(变形)分量。静水压应力和体积改变能有关，而偏差应力和形状改变有关。von Mises 屈服准则说明只有偏差分量 {s} 引起屈服。

若在 3D 主应力空间中画出,  von Mises 屈服面是一个圆柱体。

圆柱体以s1=s2=s3为轴排列。

注意如果应力状态在圆柱体内，不发生屈服。这意味着如果材料在静水压力下 (s1=s2=s3),  再大的静水压力也不会引起屈服。

从另一个角度看，偏离(s1=s2=s3) 轴的应力参与计算 von Mises 应力 {s}。

从轴s1=s2=s3的角度看，von Mises 屈服准则如下所示。

在屈服面内，如前面提到的，行为是弹性的。注意多轴应力状态可以位于圆柱体内的任意处。在圆柱体边边缘(圆) 发生屈服。没有应力状态能位于圆柱体外。 强化规律描述圆柱体如何随屈服变化。

塑性流动法则:

• 塑性流动法则定义塑性应变增量和应力间的关系。

• 流动法则描述发生屈服时塑性应变的方向。

- 即,  它定义单独的塑性应变分量 (expl, eypl 等) 如何随屈服发展而变化。

- 对金属和其它呈现不可压缩非弹性行为的材料，塑性流动在垂直于屈服面的的方向发展。否则 (如在 DP 材料模型中),  屈服时材料体积有些增大– 即非弹性应变不是完全不可压缩的。

关联流动:

塑性流动方向与屈服面的外法线方向相同。

非关联流动:

对摩擦材料，通常需要非关联流动法则 (在 Drucker-Prager 模型中，剪胀角与内摩擦角不同)。

强化准则:

- 强化准则描述屈服面如何随塑性变形的结果而变化 (大小、 中心、 形状)。

- 强化准则决定如果继续加载或卸载,  材料将何时再次屈服。

这与呈现无硬化– 即屈服面保持固定的弹性-理想塑性材料完全不同。

• 等向强化指屈服面在塑性流动期间均匀扩张。  ‘等向’一词指屈服面的均匀扩张，和 ‘各向同性’屈服准则 (即材料取向)不同。

因此屈服准则可写为:

式中 {s} 是偏差应力， sk是当前屈服应力。

等向强化适用于大应变、比例加载情况。 不适与循环加载。

对线性随动强化,  屈服面在塑性流动过程中进行刚体平移。

屈服后最初的各向同性塑性行为不再各向同性 (随动强化是各向异性强化的一种形式)

弹性区等于 2 倍的初始屈服应力，这称为包辛格效应。

因此屈服准则可被表述为:

式中 {s} 为偏差应力, sy是单轴屈服应力，{a}是后应力(屈服面中心位置)。

注意前面图中屈服面中心平移了{a}， 因此基于位置 {a}, 反向的屈服仍是 2sy。

后应力通过下式与塑性应变线性相关:

因为包括包辛格效应，所以可用于循环加载 (弹性区等于两倍的初始屈服应力。然而，应变水平相对小时(小于5-10 % 真实应变)推荐采用线性随动强化。

因为仅有一个斜率 (剪切模量), 所以由于强化是常量而不能代表真实金属。因此，对大应变应用不现实。

混合强化适用于大应变和循环加载。

混合强化模型可用于循环加载问题来模拟棘轮、调整、循环强化/软化

缺省时，所有的率无关塑性模型采用 von Mises 屈服准则，除非另外说明

双线性等向强化模型

多线性等向强化模型

双线性随动强化模型

多线性随动强化模型

用户可以使用该材料选项模拟材料的循环受力行为。与双线性随动强化模型和多线性随动强化模型一样，用户还可以使用该模型去模拟单点硬化和Bauschinger效应。

用户可以使用该模型叠加多达5种随动强化模型和一种等向强化模型去模拟复杂的材料循环塑性行为，如材料循环硬化，软化或棘轮行为。

ANSYS中增量Chaboche模型为：

3、对称边界条件

对称边界设置面板

4、施加与时间相关的压力方法

施加压力设置面板

5、非线性求解的基本设置方法

5.1 非线性方程求解

在非线性分析中，不能直接由线性方程组求得响应。需要将载荷分解成许多增量求解，每一增量确定一平衡条件。

非线性求解的一种方法是将载荷分解为一系列增量。在每一增量步求解结束后，调节刚度矩阵以适应非线性响应。

对于非线性问题，其平衡方程为：

ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量求解的问题。在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱使解回到平衡状态。

一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代求解。（四个迭代步如图所示）

Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程：

[KT]{Du}= {Fa} - {Fnr}

这里:

[KT]  = 切向刚度矩阵

{Du}  = 位移增量

{Fa}   = 施加的载荷矢量

{Fnr}   = 内力矢量

目标是迭代至收敛(后面定义)。

Newton-Raphson法是ANSYS用于求解非线性方程组的一种数值方法 。Newton-Raphson法基于增量加载与迭代，使每个载荷增量步达到平衡。

Newton-Raphson 法的优点是对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度。

也就是每一迭代步的求解误差与前一步误差的平方成正比。

修正和初始刚度N-R求解过程收敛速度比完全N-R法慢，但是这两种方法使用较少进行重新求解切线刚度矩阵及其逆矩阵。

由方程（11-129）和（11-130）可知，在每次迭代过程中刚度矩阵都被更新。这种求解方法就是完全Newton-Raphson法。

此外，用户可以使用修正的Newton-Raphson方法（NROPT,MODI）来减少刚度矩阵的更新次数。他的特别之处在于，对于静态或瞬态分析，修正的Newton-Raphson方法仅仅在每一个子步的第一次或第二次迭代更新刚度矩阵。如图11-33所示，初始刚度Newton-Raphson方法对切线刚度矩阵不做任何更新。

Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。

Fa -Fnr = 0

收敛是平衡的度量。

Newton-Raphson 迭代过程如下所示。基于 u0 时的结构构形，计算出切向刚度KT，基于DF计算出的位移增量是Du ，结构构形更新为u1。

在更新的构形中计算出内力（单元力） 。迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是:

R = Fa - Fnr

Newton-Raphson不平衡量 (Fa - Fnr) 实际上从未真正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止Newton-Raphson迭代，得到平衡解。

在数学上，当不平衡量的范数||{Fa} - {Fnr}||小于指定容限乘以参考力的值时就认为得到收敛。

ANSYS 缺省的收敛判据是力 / 力矩和位移 / 旋转增量。

对于力 / 力矩缺省的容限是0.5%，对于位移 / 旋转增量的容限是 5% 。

经验表明这些容限对于大多数问题具有足够的精确度。缺省的设置对于广泛的工程问题既不“太紧”也不“太松”。

基于检查的位移判据只应作为力收敛判据的辅助手段使用。

只依据位移判断收敛在一些情况下将导致错误的结果。

5.2 非线性求解设置

非线性控制：

力收敛准则；力矩收敛准则；位移收敛准则；转动位移准则

收敛值：可以选择程序计算；自定义数值

收敛容差：根据需要进行定义；

最小收敛参考值：用于防止收敛准则值等于0，造成求解困难。

非线性求解可按下列三个层次组织：

载荷步

载荷步是顶层，求解选项，载荷与边界条件都施加于某个载荷步内。

子步

子步是载荷步中的载荷增量。子步用于逐步施加载荷。

平衡迭代步

平衡迭代步是ANSYS为得到给定子步（载荷增量）的收敛解而采用的方法。

• 在每一增量载荷步中完成平衡迭代步。

• 载荷步一中有两个子步，载荷步二中有三个子步。

• 每个载荷步及子步都与 “ 时间 ”相关联。

• 每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联。子步也叫时间步。

• 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实的时间。

• 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中，“ 时间 ” 可设置为任何适当的值。

建模技巧:  在静态分析中，“ 时间 ”可设置为给定载荷的大小。这样将易于绘制载荷－位移曲线。

• 子步中的载荷增量大小 (DF) 由时间步的大小Dt决定。

• 时间步大小可由用户设定或由ANSYS自动预测与控制。

• 自动时间步 算法可在载荷步内为所有子步预测与控制时间步长的大小（载荷增量）。

6、非线性计算窗口显示参数详解

在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出窗口包括：

• 力/力矩不平衡量 {R}

  FORCE CONVERGENCE VALUE

• 最大的自由度增量 {Du}

  MAX DOF INC

• 力收敛判据

  CRITERION

• 载荷步与子步数

  LOAD STEP    1   SUBSTEP    14

• 当前子步的迭代步数

  EQUIL ITER 4 COMPLETED

• 累计迭代步数

  CUM ITER = 27

• 时间值与时间步大小

  TIME =  59.1250     TIME INC =   5.00000

• 自动时间步信息

  AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC =  5.0000 UNCHANGED

7、问题的计算

7.1 问题分析的基本路线

7.2 非线性材料模型

7.3 设置DM属性

7.4 分配材料模型

7.5 网格划分

7.6 对称边界

7.7 求解设置

7.8 施加压力

7.9 后处理