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振动力学：欧拉-伯努利梁的弯曲振动（考虑轴向力作用）

java 2025/6/28 17:50:00

文章1中详细研究了，横向力作用下的欧拉-伯努利梁弯曲振动。然而，考虑轴向力作用的欧拉-伯努利梁的弯曲振动属于梁振动中的特殊问题，本文对此展开讨论。

1. 考虑轴向力的振动方程

工程中不少梁构件在发生弯曲变形的同时还受轴向力，例如直升机螺旋桨叶片和发动机叶片在旋转状态下收到离心轴向力的作用。现在建立欧拉-伯努利梁（Euler-Bernoulli beam）在轴向力 $S (x)$ 作用下的弯曲振动。

在这里插入图片描述
图1 轴向力 $S (x)$ 作用下欧拉-伯努利梁模型

沿用文章1中的符号，如图1，今有一欧拉-伯努利梁，长度为 $l$ ，其轴线设为 $x$ 轴，在坐标 $x$ 处的如下力学量记为：横截面面积 $A (x)$ 、弹性模量 $E (x)$ 、质量密度 $\rho(x)$ 、截面关于中性轴的惯性矩 $I (x)$ 。横向位移用 $w (x, t)$ 表示，沿梁的单位长度上分布有横向外力 $f (x, t)$ 和外力矩 $m (x, t)$ 。截面上的剪力和弯矩记为 $Q$ 和 $M$ 。

根据材料力学可知弯矩和转角：
$\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2}, \;\; \theta = \frac{\partial w}{\partial x}$

欧拉-伯努利梁的剪力：
$\frac{\partial M}{\partial x} + m$

在轴向力 $S (x)$ 作用下的自由振动方程为（胡海岩，2005，P111）：
$\rho A \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \frac{\partial }{\partial x} \left( S \frac{\partial w}{\partial x} \right) + \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left( EI \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\right) = 0$

对于定常轴力的等截面均质直梁，上式写为：
$\rho A \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - S \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + EI \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = 0 \qquad (4.3)$

2. 方程的解

轴向力作用下梁的弯曲变形可分解为无轴向力梁与张力弦横向变形的叠加。设式(4.3)的解的形式为：
$\sin (\omega t + \theta)$

将解代入式(4.3)，可得：
$a_1 \cos (s_1 x) + a_2 \sin (s_1 x) + a_3 \cosh (s_2 x) + a_4 \sinh (s_2 x) \qquad (4.7)$

式(4.7)中的系数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 由边界条件确定。

式中，
$s_1 = \sqrt{-\frac{\alpha^2}{2}+ \sqrt{\frac{\alpha^4}{4} + \beta^4}}, \;\; s_2 = \sqrt{\frac{\alpha^2}{2}+ \sqrt{\frac{\alpha^4}{4} + \beta^4}} \qquad (4.8)$

已定义：
$\alpha = \sqrt{\frac{S}{EI}}, \;\; \beta^4 = \omega^2 \frac{\rho A}{EI}$

考虑一个简支梁例子，边界条件为 $W (0) = 0, W (l) = 0, W^{'} (0) = 0, W^{'} (l) = 0$ ，代入式(4.7)，得到频率方程：
$sin (s_1 l ) = 0$

方程的解为：
$s_1 l = n \pi, (n=1,2,3,...)$

根据式(4.8a)，可得固有频率：
$\omega_{\rm n} = \left( \frac{n \pi}{l} \right)^2 \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} \sqrt{1+\frac{S}{EI} \left( \frac{l}{n \pi} \right)^2}, (n=1,2,3,...) \qquad (4.12)$