day20 奇异值SVD分解

目录

矩阵降维案例

训练集和测试集的SVD降维

作业

与线性代数的关系：
1.正交矩阵：列向量正交且单位化，在SVD中用于旋转和反射（U和V）
2.特征值和特征向量：描述矩阵在某些方向上的缩放特性，是计算奇异值的基础
3.实对称矩阵：具有实特征值和正交特征向量，SVD通过构造A^TA和AA^T利用其性质
4.矩阵分解：将复杂矩阵分解为简单矩阵乘积，是降维和数据分析的核心工具

奇异值分解（SVD）的输入和输出：
        - 输入：一个任意的矩阵A，尺寸为m*n（其中m是行，n是列，不必是方阵）。

奇异值分解（SVD）得到三个矩阵U、Σ和V^T各有其特定的意义和用途，下面简要说明它们的作用：
1. U（左奇异向量矩阵）：
        - 是一个m*m的正交矩阵，列向量是矩阵AA^T的特征向量。
        - 作用：表示原始矩阵A在行空间（样本空间）中的主方向或基向量。简单来说，U的列向量描述了数据在行维度上的“模式”或“结构”。
        - 应用：在降维中，U的前几列可以用来投影数据到低维空间，保留主要信息（如在图像处理中提取主要特征）

2.Σ（奇异值矩阵）：
        - 是一个m*n的对角矩阵，对角线上的值是奇异值，按降序排列，非负。
        - 作用：奇异值表示原始矩阵A在每个主方向上的“重要性”或“能量”。较大的奇异值对应更重要的特征，较小的奇异值对应噪声或次要信息。
        - 应用：通过选择前k个较大的奇异值，可以实现降维，丢弃不重要的信息（如数据压缩，去噪）。

3.V^T（右奇异向量矩阵的转置）：

        - 是V的转置，V是一个n*n的正交矩阵，列向量是矩阵A^TA的特征向量。
        - 作用：表示原始矩阵A在列空间（特征空间）中的主方向或基向量。简单来说，V的列向量描述了数据在列维度上的“模式”或“结构”。
        - 应用：类似U，V在前几列可以用来投影数据到低维空间，提取主要特征。

整体作用：
        - 结合起来，A = UΣV^T意味着原始矩阵A可以被分解为一系列主方向（U和V）和对应的权重（Σ）的组合。这种分解揭示了数据的内在结构。
        - 主要应用：
                - 降维：通过保留前k个奇异值及其对应的U和V的列向量，可以近似重建A，减少数据维度（如 PCA 的基础）。
                - 数据压缩：如图像压缩，丢弃小的奇异值以减少存储空间。
                - 去噪：小的奇异值往往对应噪声，丢弃它们可以提高数据质量。
                - 推荐系统：如矩阵分解，用于预测用户评分矩阵中的缺失值。

矩阵降维案例

import numpy as np# 创建一个矩阵 A (5x3)
A = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9],[10, 11, 12],[13, 14, 15]])
print("原始矩阵 A:")
print(A)# 进行 SVD 分解
U, sigma, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)    
print("\n奇异值 sigma:")
print(sigma)# 保留前 k=1 个奇异值进行降维
k = 1
U_k = U[:, :k]  # 取 U 的前 k 列，因为要保持行数不变
sigma_k = sigma[:k]  # 取前 k 个奇异值
Vt_k = Vt[:k, :]  # 取 Vt 的前 k 行，因为要保持列数不变# 近似重构矩阵 A,常用于信号or图像筛除噪声
A_approx = U_k @ np.diag(sigma_k) @ Vt_k    
print("\n保留前", k, "个奇异值后的近似矩阵 A_approx:")
print(A_approx)# 计算近似误差
error = np.linalg.norm(A - A_approx, 'fro') / np.linalg.norm(A, 'fro')       
print("\n近似误差 (Frobenius 范数相对误差):", error)

原始矩阵 A:
[[ 1  2  3][ 4  5  6][ 7  8  9][10 11 12][13 14 15]]奇异值 sigma:
[3.51826483e+01 1.47690770e+00 9.86023090e-16]保留前 1 个奇异值后的近似矩阵 A_approx:
[[ 1.85152908  2.05208851  2.25264793][ 4.5411984   5.03310541  5.52501242][ 7.23086771  8.01412231  8.7973769 ][ 9.92053702 10.99513921 12.06974139][12.61020633 13.9761561  15.34210588]]近似误差 (Frobenius 范数相对误差): 0.04194136031471535

训练集和测试集的SVD降维

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score# 设置随机种子以便结果可重复
np.random.seed(42)# 模拟数据：1000 个样本，50 个特征
n_samples = 1000
n_features = 50
X = np.random.randn(n_samples, n_features) * 10  # 随机生成特征数据
y = (X[:, 0] + X[:, 1] > 0).astype(int)  # 模拟二分类标签# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
print(f"训练集形状: {X_train.shape}")
print(f"测试集形状: {X_test.shape}")# 对训练集进行 SVD 分解
U_train, sigma_train, Vt_train = np.linalg.svd(X_train, full_matrices=False)
print(f"Vt_train 矩阵形状: {Vt_train.shape}")# 选择保留的奇异值数量 k
k = 10
Vt_k = Vt_train[:k, :]  # 保留前 k 行，形状为 (k, 50)
print(f"保留 k={k} 后的 Vt_k 矩阵形状: {Vt_k.shape}")# 降维训练集：X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
print(f"降维后训练集形状: {X_train_reduced.shape}")# 使用相同的 Vt_k 对测试集进行降维：X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
print(f"降维后测试集形状: {X_test_reduced.shape}")# 训练模型（以逻辑回归为例）
model = LogisticRegression(random_state=42)
model.fit(X_train_reduced, y_train)# 预测并评估
y_pred = model.predict(X_test_reduced)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"测试集准确率: {accuracy}")# 计算训练集的近似误差（可选，仅用于评估降维效果）
X_train_approx = U_train[:, :k] @ np.diag(sigma_train[:k]) @ Vt_k
error = np.linalg.norm(X_train - X_train_approx, 'fro') / np.linalg.norm(X_train, 'fro')
print(f"训练集近似误差 (Frobenius 范数相对误差): {error}")

训练集形状: (800, 50)

测试集形状: (200, 50)

Vt_train 矩阵形状: (50, 50)

保留 k=10 后的 Vt_k 矩阵形状: (10, 50)

降维后训练集形状: (800, 10)

降维后测试集形状: (200, 10)

测试集准确率: 0.595

训练集近似误差 (Frobenius 范数相对误差): 0.852479929511559

注意事项：
1.标准化数据：在进行SVD之前，通常需要对数据进行标准化（均值为0，方差为1），以避免某些特征的量纲差异对降维结果的影响，可以使用sklearn.preprocessing.StandardScaler。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_train_scaler = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaler = scaler.transform(X_test)

注意：scaler 必须在训练集上fit，然后对测试集只用transform，以避免数据泄漏。 

2.选择合适的k：可以通过累计方差贡献率（explained variance ratio）选择k，通常选择解释90%-95%方差的k值。代码中可以计算：

explain_variance_ratio = np.cumsum(sigma_train**2)/np.sum(sigma_train**2)
print(f'前{k}个奇异值的累积方差贡献率：{explain_variance_ratio[k-1]}')

3.使用sklearn的TruncatedSVD：sklearn提供了TruncatedSVD类，专门用于高效降维，尤其适合大规模数据。它直接计算前k个奇异值和向量，避免完整SVD的计算开销。

from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
svd = TruncatedSVD(n_components=k, random_state=42)
X_train_reduced = svd.fit_transform(X_train)
X_test_reduced = svd.transform(X_test)
print(f"累计方差贡献率：{sum(svd.explained_variance_ratio_)}")

作业

随机森林 分类报告：precision    recall  f1-score   support0       0.83      0.83      0.83        291       0.84      0.84      0.84        32accuracy                           0.84        61macro avg       0.84      0.84      0.84        61
weighted avg       0.84      0.84      0.84        61随机森林 混淆矩阵：
[[24  5][ 5 27]]
随机森林 模型评估指标：
准确率: 0.8361
精确率: 0.8438
召回率: 0.8438
F1 值: 0.8438

import numpy as np
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.preprocessing import StandardScalerscaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)# 对训练集进行SVD分解
U_train, sigma_train, Vt_train = np.linalg.svd(X_train_scaled, full_matrices=False)
print(f"Vt_train 矩阵形状: {Vt_train.shape}")# 选择合适的k值
explained_variance_ratio = np.cumsum(sigma_train**2) / np.sum(sigma_train**2)
k = np.argmax(explained_variance_ratio >= 0.90) + 1  # 选择累计解释方差大于90%的k值
print(f"选择的k值: {k}")
print(f'k为{k}时累计方差贡献率为:{explained_variance_ratio[k-1]}')# 取前k个特征向量
Vt_k = Vt_train[:k, :] # 取前k个特征向量
print(f"保留k={k}个特征向量后的Vt矩阵形状为：Vt_k.shape")# 降维训练集
X_train_reduced = X_train_scaled @ Vt_k.T
print("降维后的训练集形状为：", X_train_reduced.shape)# 降维测试集
X_test_reduced = X_test_scaled @ Vt_k.T
print("降维后的测试集形状为：", X_test_reduced.shape)# 训练模型（以随机森林为例）
rf_model = RandomForestClassifier(random_state=42)
rf_model.fit(X_train_reduced, y_train)
rf_pred = rf_model.predict(X_test_reduced)# 计算准确率
rf_accuracy = accuracy_score(y_test, rf_pred)
print(f"随机森林模型在降维后的测试集上的准确率为： {rf_accuracy:.4f}")# 计算训练集的近似误差
X_train_scaled_approx = U_train[:, :k] @ np.diag(sigma_train[:k]) @ Vt_k
error = np.linalg.norm(X_train_scaled - X_train_scaled_approx, 'fro') / np.linalg.norm(X_train_scaled, 'fro')
print(f"训练集的近似误差为： {error}")

@浙大疏锦行