分治算法

一、介绍

「分治divideandconquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现， 包括“分”和“治”两个步骤。

1. 分（划分阶段）：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。

2. 治（合并阶段）：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。

如图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。

1. 分：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。

2. 治：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。

二、如何判断分治问题 

一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。

1. 问题可以被分解：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。

2. 子问题是独立的：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。

3. 子问题的解可以被合并：原问题的解通过合并子问题的解得来。

显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。

1. 问题可以被分解：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。

2. 子问题是独立的：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。

3. 子问题的解可以被合并：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。

三、通过分治提升效率

分治不仅可以有效地解决算法问题，往往还可以带来算法效率的提升。在排序算法中，快速排序、归并排序、 堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。

那么，为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？ 这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。

1. 操作数量优化

以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为𝑛的数组需要𝑂()时间。假设我们按照图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要𝑂(𝑛)时间，排序每个子数组需要𝑂()时间，合并两个子数组需要𝑂(𝑛)时间，总体时间复杂度为：

接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：

这意味着当𝑛>4时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平 方阶𝑂()，只是复杂度中的常数项变小了。

进一步想，如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？ 这种思路实际上就是“归并排序”，时间复杂度为𝑂(𝑛log𝑛)。 再思考，如果我们多设置几个划分点，将原数组平均划分为𝑘个子数组呢？这种情况与“桶排序”非常类似， 它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到𝑂(𝑛+𝑘)。

2. 并行计算优化

我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，因此通常可以并行解决。也就是说，分治不仅可以降低算法的 时间复杂度，还有利于操作系统的并行优化。 并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资 源，从而显著减少总体的运行时间。 比如在图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。

四、分治常见应用

一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。

‧ 寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两 部分的最近点对。

‧ 大整数乘法：例如Karatsuba算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。

‧ 矩阵乘法：例如Strassen算法，它是将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。

‧ 汉诺塔问题：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。

‧ 求解逆序对：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。

另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。

‧ 二分查找：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决 定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。

‧ 归并排序：文章开头已介绍，不再赘述。

‧ 快速排序：快速排序是选取一个基准值，然后把数组分为两个子数组，一个子数组的元素比基准值小， 另一子数组的元素比基准值大，然后再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。

‧ 桶排序：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的 元素依次取出，从而得到一个有序数组。

‧ 树：例如二叉搜索树、AVL树、红黑树、B树、B+树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为 分治的应用。

‧ 堆：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。

‧ 哈希表：虽然哈希表来并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决策略间接应用了分治策略，例如，链式 地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。

可以看出，分治是一种“润物细无声”的算法思想，隐含在各种算法与数据结构之中。

五、分治搜索策略

搜索算法分为两大类。

‧ 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为𝑂(𝑛)。

‧ 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到𝑂(log𝑛)甚至𝑂(1)的时间复杂度。

实际上，时间复杂度为𝑂(log𝑛)的搜索算法通常都是基于分治策略实现的，例如二分查找和树。

‧ 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。

‧ 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为𝑂(log𝑛) 。

1. 二分查找的分治策略

‧ 问题可以被分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。

‧ 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。

‧ 子问题的解无须合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治搜索每轮可以排除一半选项。

基于分治实现二分在之前的文章中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。

给定一个长度为𝑛的有序数组 nums ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 target 。

从分治角度，我们将搜索区间[𝑖,𝑗]对应的子问题记为𝑓(𝑖,𝑗)。 从原问题𝑓(0,𝑛−1)为起始点，通过以下步骤进行二分查找。

1. 计算搜索区间[𝑖,𝑗]的中点𝑚，根据它排除一半搜索区间。

2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为𝑓(𝑖,𝑚−1)或𝑓(𝑚+1,𝑗)。

3. 循环第1.和2.步，直至找到 target 或区间为空时返回。 下图展示了在数组中二分查找元素6的分治过程。

2. 实现代码

def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:"""二分查找：问题 f(i, j)"""# 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1if i > j:return -1# 计算中点索引 mm = (i + j) // 2if nums[m] < target:# 递归子问题 f(m+1, j)return dfs(nums, target, m + 1, j)elif nums[m] > target:# 递归子问题 f(i, m-1)return dfs(nums, target, i, m - 1)else:# 找到目标元素，返回其索引return mdef binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:"""二分查找"""n = len(nums)# 求解问题 f(0, n-1)return dfs(nums, target, 0, n - 1)"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":target = 6nums = [1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35]# 二分查找（双闭区间）index = binary_search(nums, target)print("目标元素 6 的索引 = ", index)