【Leetcode】2683. 相邻值的按位异或

题目

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题目描述：
给定一个长度为 n 的 derived 数组，判断是否存在一个长度为 n 的二进制数组 original，使得：

• derived[i] = original[i] ⊕ original[(i + 1) % n]

其中 ⊕ 表示按位异或运算。

思路

这道题的关键在于理解异或运算的性质：

1. 异或的对称性：a ⊕ b = b ⊕ a
2. 异或的结合律：(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
3. 自异或为0：a ⊕ a = 0

核心观察：
如果存在有效的原始数组，那么所有 derived 数组元素的异或和必须为 0。

证明：

derived[0] = original[0] ⊕ original[1]
derived[1] = original[1] ⊕ original[2]
derived[2] = original[2] ⊕ original[3]
...
derived[n-1] = original[n-1] ⊕ original[0]

将所有等式异或：

derived[0] ⊕ derived[1] ⊕ ... ⊕ derived[n-1] 
= (original[0] ⊕ original[1]) ⊕ (original[1] ⊕ original[2]) ⊕ ... ⊕ (original[n-1] ⊕ original[0])
= original[0] ⊕ original[0] ⊕ original[1] ⊕ original[1] ⊕ ... ⊕ original[n-1] ⊕ original[n-1]
= 0

每个 original[i] 都出现了两次，异或后为 0。

算法步骤：

1. 特殊情况：如果数组长度为1，当且仅当 derived[0] = 0 时有解
2. 一般情况：计算所有 derived 元素的异或和，如果为0则有解

代码

C++

class Solution {
public:bool doesValidArrayExist(vector<int>& derived) {// 特殊情况：长度为1if(derived.size() == 1) {return !derived[0];  // derived[0] = original[0] ⊕ original[0] = 0}// 计算所有元素的异或和int xorSum = 0;for(int num : derived) {xorSum ^= num;}// 当且仅当异或和为0时有解return xorSum == 0;}
};

Java

class Solution {public boolean doesValidArrayExist(int[] derived) {// 特殊情况：长度为1if(derived.length == 1) {return derived[0] == 0;}// 计算所有元素的异或和int xorSum = 0;for(int num : derived) {xorSum ^= num;}// 当且仅当异或和为0时有解return xorSum == 0;}
}

Python

class Solution:def doesValidArrayExist(self, derived: List[int]) -> bool:# 特殊情况：长度为1if len(derived) == 1:return derived[0] == 0# 计算所有元素的异或和xor_sum = 0for num in derived:xor_sum ^= num# 当且仅当异或和为0时有解return xor_sum == 0

复杂度分析

时间复杂度

• O(n)：需要遍历整个 derived 数组一次来计算异或和

空间复杂度

• O(1)：只使用了常数级别的额外空间

结果

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)
• 通过所有测试用例

总结

这道题的关键在于发现数学规律：

1. 异或运算的性质：每个原始数组元素在异或计算中出现且仅出现两次
2. 必要充分条件：derived数组所有元素的异或和为0是存在有效原始数组的充要条件
3. 边界情况处理：长度为1的特殊情况需要单独考虑

通过数学推导，我们将一个看似复杂的构造问题转化为了一个简单的异或和计算问题，大大降低了解题复杂度。