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数据结构与算法之美：拓扑排序

ds 2025/7/20 6:41:39

Hello大家好！很高兴我们又见面啦！给生活添点passion，开始今天的编程之路！

我的博客：<但凡.

我的专栏：《编程之路》、《数据结构与算法之美》、《C++修炼之路》、《Linux修炼：终端之内洞悉真理》

感谢你打开这篇博客！希望这篇博客能为你带来帮助，也欢迎一起交流探讨，共同成长。

拓扑排序其实是图相关的内容，但是当时我忘了这一部分了，所以单独拿一篇文章来补充上。

1、拓扑排序概述

2、拓扑排序的实现

基于邻接表的实现

Kahn算法实现（基于入度）

关键注意事项

3、应用场景扩展

1、拓扑排序概述

拓扑排序是对有向无环图（DAG）的顶点进行线性排序，使得对于图中的每一条有向边 (u, v)，顶点 u 在排序中总是位于顶点 v 的前面。常用于任务调度、依赖解析等场景。

简单来说，拓扑排序就是每次从入度为0的点开始，每次都走入度为0的点，直到遍历完所有的顶点。拓扑排序只适用于有向无环图，并且，拓扑排序的结果可能不唯一。

2、拓扑排序的实现

基于邻接表的实现

以下是使用邻接表和深度优先搜索（DFS）的C++实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
#include <list>
using namespace std;class Graph {int V; // 顶点数list<int>* adj; // 邻接表void topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int>& Stack);public:Graph(int V);void addEdge(int v, int w);void topologicalSort();
};Graph::Graph(int V) {this->V = V;adj = new list<int>[V];
}void Graph::addEdge(int v, int w) {adj[v].push_back(w); // 添加边v->w
}void Graph::topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int>& Stack) {visited[v] = true;for (auto i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)if (!visited[*i])topologicalSortUtil(*i, visited, Stack);Stack.push(v);
}void Graph::topologicalSort() {stack<int> Stack;bool* visited = new bool[V];for (int i = 0; i < V; i++)visited[i] = false;for (int i = 0; i < V; i++)if (!visited[i])topologicalSortUtil(i, visited, Stack);while (!Stack.empty()) {cout << Stack.top() << " ";Stack.pop();}
}int main() {Graph g(6);g.addEdge(5, 2);g.addEdge(5, 0);g.addEdge(4, 0);g.addEdge(4, 1);g.addEdge(2, 3);g.addEdge(3, 1);cout << "拓扑排序结果: ";g.topologicalSort();return 0;
}

我们来分析以下上面的算法，其实关于dfs，还是那句“一条路走到黑”来概括更为合适。我们在只要遍历到入度为0的点，就以这个点为起点开始dfs，在dfs过程中遇到的所有点都先加入栈，最后，再依次弹出栈。光说不好理解，我们看图来理解一下：

最后再依次出栈，就是拓扑排序。

Kahn算法实现（基于入度）

其实一般提到拓扑排序，都是基于Kahn算法实现的。Kahn算法通过维护入度表实现拓扑排序，步骤如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;vector<int> topologicalSort(int V, vector<vector<int>>& adj) {vector<int> inDegree(V, 0);queue<int> q;vector<int> result;// 计算每个顶点的入度for (int u = 0; u < V; u++)for (int v : adj[u])inDegree[v]++;// 入度为0的顶点入队for (int i = 0; i < V; i++)if (inDegree[i] == 0) q.push(i);while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();result.push_back(u);for (int v : adj[u])if (--inDegree[v] == 0)q.push(v);}if (result.size() != V) {cout << "图中存在环！" << endl;return {};}return result;
}int main() {int V = 6;vector<vector<int>> adj(V);adj[5] = {2, 0};adj[4] = {0, 1};adj[2] = {3};adj[3] = {1};vector<int> sorted = topologicalSort(V, adj);for (int v : sorted) cout << v << " ";return 0;
}

我们还是根据图来理解一下：