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泰勒展开式

backend 2025/7/3 20:51:11

泰勒展开（Taylor Expansion）是数学分析中的一个重要工具，用来将一个函数在某一点附近表示成多项式的形式。通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某点的值和导数信息转化为多项式，从而在该点附近对该函数进行逼近。

假设函数 $f (x)$ 在某点 $x = a$ 处具有所有阶数的导数，那么该函数的泰勒展开式可以写成：

$\frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$

更一般地，我们可以表示为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

其中：

泰勒展开式提供了一种在点 $a$ 附近对函数 $f (x)$ 进行逼近的方法。通过将函数在点 $a$ 处的所有导数信息用于展开式，我们可以得到一个多项式，该多项式在点 $a$ 处与原函数完全相同。也就是说，泰勒展开式是通过一个多项式近似表示原函数。

通常情况下，我们只对泰勒展开的前几项进行近似，因此会忽略掉高阶项。为了估计这种近似的误差，泰勒定理提供了一个公式，来衡量泰勒展开截断后的误差：

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$

其中 $\xi$ 是在 $a$ 和 $x$ 之间的某个点。这个公式表明，随着我们截取更多的项（即增加 $n$ ），误差会随着 $x - a)^{n+1}$ 的增加而减小。

泰勒展开关于 $x = 0$ （即麦克劳林展开）
当展开点 $a = 0$ 时，泰勒展开称为麦克劳林展开。它的形式是：

$\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots$

例如， $e^x$ 在 $x = 0$ 处的麦克劳林展开式是：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
常见函数的泰勒展开式
1. 指数函数 $e^x$
  
  $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
2. 正弦函数 $\sin(x)$
  
  $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$
3. 余弦函数 $\cos(x)$
  
  $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
4. 自然对数 $\ln(1+x)$
  
  $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

泰勒展开的收敛性取决于函数的性质和展开的点。对于一些函数，泰勒展开可能在整个实数范围内收敛，而对于另一些函数，则可能仅在某个区间内收敛。

例如， $\sin(x)$ 和 $e^x$ 在整个实数范围内的泰勒展开都收敛，但某些函数的泰勒展开仅在一个特定的范围内有效。

泰勒展开的应用非常广泛，尤其在物理、工程、计算机科学和数学分析等领域。常见的应用包括：

考虑以下极限：

$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x}$

使用泰勒展开来求解：

$\sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式是：

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$
所以：

$\frac{\sin(x)}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + O(x^4)$
当 $\to 0$ 时，显然 $\frac{\sin(x)}{x} \to 1$ 。