高等数学第四章---不定积分（§4.3分部积分法4.4有理真分式函数的不定积分）

§4.3 分部积分法

在学习了换元积分法之后，我们继续介绍另一种强大的积分技巧——分部积分法，以及如何处理有理函数的不定积分。

一、分部积分公式

分部积分法源于两个函数乘积的求导法则。回顾一下：
$$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$
对等式两边同时求不定积分：
$$\int (u(x)v(x){)}^{\prime }dx=\int (u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x))dx$$
根据不定积分的定义和性质，左边等于 $u(x)v(x)+C_0$（常数 $C_0$ 通常在最终结果中统一表示为 $C$），右边等于 $\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$。整理可得：
$$u(x)v(x)=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$$
移项得到分部积分公式：
$$\boxed{\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx}$$
或者更简洁地写作（使用微分形式 $du=u^{\prime }(x)dx$ 和 $dv=v^{\prime }(x)dx$）：
$$\boxed{\int udv=uv-\int vdu}$$

公式解释： 分部积分法主要用于计算两个函数乘积形式的不定积分 $\int f(x)g(x)dx$。关键在于将被积函数拆分成 u 和 dv (或 u(x) 和 v'(x)dx) 两部分。选择合适的 u 和 dv 是成功应用该方法的关键。u 通常选择求导后会变简单的函数，dv 选择容易积分的函数部分。例如，计算 $\int x{e}^{x}dx$，我们可以选择 $u=x,dv=e^{x}dx$，或者 $u=e^x,dv=xdx$。如何选择更有效呢？下面介绍一些技巧。

二、分部积分公式应用技巧

选择 u 和 dv 的一般原则：

1. $v=\int dv$ 要容易计算。
2. $\int vdu$ 要比原积分 $\int udv$ 更容易计算。

根据被积函数的类型，有以下常见的选择策略（有时会用到助记词 LIATE: Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential，排在前面的优先选作 u）：

1. “降幂法” (处理多项式 × 指数/三角函数)
当被积函数形如 $x^n{e}^{ax}$, $x^n\sin (ax)$, 或 $x^n\cos (ax)$ 时，通常选择 $u=x^n$，剩下的部分作为 $dv$。这样每次分部积分后，$x$ 的幂次会降低。

例 1 计算下列不定积分
(1) $\int x{e}^{x}dx$
(2) $\int x\cos xdx$
(3) $\int x^2\sin xdx$

解：
(1) 令 $u=x$, $dv=e^{x}dx$。则 $du=dx$, $v=\int e^{x}dx=e^x$。
$$\begin{array}{rl}\int x{e}^{x}dx& =\int udv\\ & =uv-\int vdu\\ & =x{e}^x-\int e^{x}dx\\ & =x{e}^x-e^x+C\end{array}$$

(2) 令 $u=x$, $dv=\cos xdx$。则 $du=dx$, $v=\int \cos xdx=\sin x$。
$$\begin{array}{rl}\int x\cos xdx& =\int udv\\ & =uv-\int vdu\\ & =x\sin x-\int \sin xdx\\ & =x\sin x-(-\cos x)+C\\ & =x\sin x+\cos x+C\end{array}$$

(3) 需要两次分部积分。
第一次：令 $u=x^2$, $dv=\sin xdx$。则 $du=2xdx$, $v=\int \sin xdx=-\cos x$。
$$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =x^2(-\cos x)-\int (-\cos x)(2xdx)\\ & =-x^2\cos x+2\int x\cos xdx\end{array}$$
第二次 (对 $\int x\cos xdx$，使用例 1(2) 的中间步骤或重新计算)：令 $u_1=x$, $d{v}_1=\cos xdx$。则 $d{u}_1=dx$, $v_1=\sin x$。
$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x$$
代回原式：
$$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =-x^2\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C\\ & =-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{array}$$

注：

• 应用分部积分公式时，中间步骤计算 $\int vdu$ 时不需要加积分常数 $C$，只需在最终结果加上一个 $C$。
• 分部积分法可能需要连续使用多次，如例 1(3)。每次应用后，新的积分应比原来的积分更简单或类型相同（为循环法做准备）。
• 牢记选择 $u$ 后，剩下的 连同 $dx$ 一起构成 $dv=v^{\prime }(x)dx$，需要积分得到 $v(x)$。
• 公式右侧是 $uv$ 减去 $\int vdu$。

2. “升幂法” (处理多项式 × 对数/反三角函数)
当被积函数形如 $x^n\ln x$, $x^n\arcsin x$, $x^n\arccos x$, $x^n\arctan x$, 或 $x^n\mathrm{arccot}x$ 时，通常选择 对数函数或反三角函数作为 $u$，剩下的 $x^{n}dx$ 作为 $dv$。因为对数和反三角函数的导数是代数式，通常能简化积分。

例 2 计算下列不定积分
(1) $\int \ln xdx$
(2) $\int x^2\ln xdx$
(3) $\int x\arctan xdx$
(4) $\int \arccos xdx$

解：
(1) 令 $u=\ln x$, $dv=1\cdot dx$。则 $du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$。
$$\begin{array}{rl}\int \ln xdx& =(\ln x)(x)-\int x\left(\frac{1}{x}dx\right)\\ & =x\ln x-\int 1dx\\ & =x\ln x-x+C\end{array}$$

(2) 令 $u=\ln x$, $dv=x^{2}dx$。则 $du=\frac{1}{x}dx$, $v=\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$。
$$\begin{array}{rl}\int x^2\ln xdx& =(\ln x)\left(\frac{x^3}{3}\right)-\int \frac{x^3}{3}\left(\frac{1}{x}dx\right)\\ & =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx\\ & =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}\right)+C\\ & =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C\end{array}$$

(3) 令 $u=\arctan x$, $dv=xdx$。则 $du=\frac{1}{1+x^2}dx$, $v=\frac{x^2}{2}$。
$$\begin{array}{rl}\int x\arctan xdx& =(\arctan x)\left(\frac{x^2}{2}\right)-\int \frac{x^2}{2}\left(\frac{1}{1+x^2}dx\right)\\ & =\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx\end{array}$$
对 $\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$ 进行处理：
$$\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=\int \frac{(x^2+1)-1}{1+x^2}dx=\int \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=x-\arctan x$$
代回原式：
$$\begin{array}{rl}\int x\arctan xdx& =\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}(x-\arctan x)+C\\ & =\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+C\\ & =\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C\end{array}$$

(4) 令 $u=\arccos x$, $dv=1\cdot dx$。则 $du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$, $v=x$。
$$\begin{array}{rl}\int \arccos xdx& =(\arccos x)(x)-\int x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\right)\\ & =x\arccos x+\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\end{array}$$
对 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ 使用凑微分法：令 $w=1-x^2$, $dw=-2xdx$, $xdx=-\frac{1}{2}dw$。
$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{w}}\left(-\frac{1}{2}dw\right)=-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=-\frac{1}{2}\frac{w^{1/2}}{1/2}+C_1=-\sqrt{w}+C_1=-\sqrt{1-x^2}+C_1$$
代回原式（常数合并为 C）：
$$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$$

3. “循环法” (处理指数 × 三角函数)
当被积函数形如 $e^{ax}\sin (bx)$ 或 $e^{ax}\cos (bx)$ 时，无论选择指数函数还是三角函数作为 u，通常进行两次分部积分后，会得到一个含有原始积分的方程，解此方程即可得到结果。

例 3 计算 $I=\int e^x\cos xdx$

解：
第一次分部积分：令 $u=e^x$, $dv=\cos xdx$。则 $du=e^{x}dx$, $v=\sin x$。
$$I=\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int (\sin x)(e^{x}dx)=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$$
第二次分部积分 (对 $\int e^x\sin xdx$)：令 $u_1=e^x$, $d{v}_1=\sin xdx$。则 $d{u}_1=e^{x}dx$, $v_1=-\cos x$。
$$\int e^x\sin xdx=e^x(-\cos x)-\int (-\cos x)(e^{x}dx)=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx=-e^x\cos x+I$$
将第二次积分的结果代回第一次的等式：
$$I=e^x\sin x-(-e^x\cos x+I)$$
$$I=e^x\sin x+e^x\cos x-I$$
移项合并 $I$：
$$2I=e^x(\sin x+\cos x)$$
解得：
$$I=\int e^x\cos xdx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)+C$$
(注意：在解出 $I$ 后加上积分常数 $C$)

例 4 求 $I_n=\int x^n{e}^{x}dx$ 的递推公式，并计算 $I_3$。

解：
对 $I_n$ 使用分部积分法（降幂法）：令 $u=x^n$, $dv=e^{x}dx$。则 $du=n{x}^{n-1}dx$, $v=e^x$。
$$I_n=\int x^n{e}^{x}dx=x^n{e}^x-\int e^x(n{x}^{n-1}dx)=x^n{e}^x-n\int x^{n-1}{e}^{x}dx$$
所以，递推公式为：
$$\boxed{I_n=x^n{e}^x-n{I}_{n-1}}$$
现在计算 $I_3$ ($n=3$):
$$I_3=x^3{e}^x-3I_2$$
应用递推公式计算 $I_2$:
$$I_2=x^2{e}^x-2I_1$$
应用递推公式计算 $I_1$:
$$I_1=x^1{e}^x-1I_0$$
计算 $I_0$:
$$I_0=\int x^0{e}^{x}dx=\int e^{x}dx=e^x$$
(在最后一步加 C，或者递推过程中视为 $e^x$）
将 $I_0,I_1,I_2$ 逐级代回：
$$I_1=x{e}^x-e^x$$
$$I_2=x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x$$
$$I_3=x^3{e}^x-3(x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x)=x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x$$
最终结果加上积分常数 $C$:
$$I_3=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C$$

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§4.4 有理函数的不定积分

一、有理函数及其分类

1. 有理函数的定义
形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数称为有理函数（或有理分式），其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是关于 $x$ 的多项式。

• 例如: $\frac{2x+1}{x^2+x-1}$, $\frac{2x^2-3}{x^2-2x+5}$, $\frac{x^3+1}{x^2-x-1}$。

2. 真分式与假分式

• 如果分子 $P(x)$ 的最高次数小于分母 $Q(x)$ 的最高次数，则称 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 为有理真分式。例如: $\frac{2x+1}{x^2+x-1}$。
• 如果分子 $P(x)$ 的最高次数大于或等于分母 $Q(x)$ 的最高次数，则称 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 为有理假分式。例如: $\frac{2x^2-3}{x^2-2x+5}$ (次数相同)， $\frac{x^3+1}{x^2-x-1}$ (分子次数更高)。

3. 假分式化为多项式与真分式之和
任何有理假分式都可以通过多项式长除法化为一个多项式与一个有理真分式之和的形式。

• 例如:
  • $\frac{2x^2-3}{x^2-2x+5}=\frac{2(x^2-2x+5)+4x-10-3}{x^2-2x+5}=2+\frac{4x-13}{x^2-2x+5}$
  • $\frac{x^3+1}{x^2-x-1}$ 进行长除法：

        x + 1x^2-x-1 | x^3 + 0x^2 + 0x + 1-(x^3 - x^2 - x)-----------------x^2 + x + 1-(x^2 - x - 1)-------------2x + 2
  

  所以, $\frac{x^3+1}{x^2-x-1}=(x+1)+\frac{2x+2}{x^2-x-1}$

由于多项式的积分很简单（使用 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$），有理函数的积分问题核心在于有理真分式的积分。

二、有理真分式函数的不定积分

计算有理真分式 $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$ 的一般步骤是部分分式分解法 (Partial Fraction Decomposition)。

步骤 1：因式分解分母 $Q(x)$
在实数范围内，将分母多项式 $Q(x)$ 分解为一次因式 $(x-a)$ 和二次不可约因式 $(x^2+px+q)$ (其中 $p^2-4q<0$) 的乘积形式。可能包含重复的因式（即幂次大于 1）。
$$Q(x)=k(x-a_1{)}^{n_1}\cdots (x-a_r{)}^{n_r}(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{m_1}\cdots (x^2+p_{s}x+q_s{)}^{m_s}$$

步骤 2：将真分式分解为部分分式之和
根据代数学理论，任何有理真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 都可以唯一地表示为一系列更简单的部分分式之和。分解规则如下：

• 对应于分母中因子 $(x-a{)}^n$，分解出 $n$ 项：
  $$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_n}{(x-a{)}^n}$$
• 对应于分母中因子 $(x^2+px+q{)}^m$ (其中 $p^2-4q<0$)，分解出 $m$ 项：
  $$\frac{B_{1}x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_{2}x+C_2}{(x^2+px+q{)}^2}+\cdots +\frac{B_{m}x+C_m}{(x^2+px+q{)}^m}$$
  将所有因子对应的部分分式加起来，得到 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的完全分解。其中 $A_i,B_j,C_j$ 是待定常数。

步骤 3：积分
将原积分转化为对各个部分分式进行积分。这通常归结为以下四种基本类型积分的计算：

1. $\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C$
2. $\int \frac{A}{(x-a{)}^n}dx=\frac{A}{1-n}(x-a{)}^{1-n}+C(n\ge 2)$
3. $\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q}dx$ （其中 $p^2-4q<0$）
4. $\int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^m}dx$ （其中 $p^2-4q<0,m\ge 2$）

本讲义主要关注前三种类型的计算。第四种通常需要更复杂的递推公式或特殊技巧。

确定待定常数的方法：

• 比较系数法： 将分解后的部分分式通分相加，使其分母变回 $Q(x)$，然后比较合并后的分子多项式与原分子 $P(x)$ 的同次幂项系数，建立线性方程组求解 $A_i,B_j,C_j$。
• 赋值法（Heaviside cover-up method 的推广）： 在等式 $P(x)\equiv \text{分解后通分的分子}$ 两边代入一些特殊值（通常是使分母中某些因子为零的 $x$ 值）来直接求出部分常数。对于重根或二次因子，可能需要结合比较系数法或代入其他方便计算的值。

有理函数积分示例

例 5 计算 $\int \frac{2x-1}{x^2-5x+6}dx$

解：

1. 分解分母： $Q(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
2. 设部分分式：
   $$\frac{2x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$$
3. 确定常数： 通分得到 $2x-1\equiv A(x-3)+B(x-2)$。
   • 方法一 (比较系数)： $(A+B)x+(-3A-2B)=2x-1$
     $$\{\begin{array}{l}A+B=2\\ -3A-2B=-1\end{array}$$
     解得 $A=-3,B=5$。
   • 方法二 (赋值法)：
     令 $x=2$: $2\ast (2)-1=A(2-3)+B(0)⟹3=-A⟹A=-3$。
     令 $x=3$: $2\ast (3)-1=A(0)+B(3-2)⟹5=B⟹B=5$。
4. 积分：
   $$\begin{array}{rl}\int \frac{2x-1}{x^2-5x+6}dx& =\int \left(\frac{-3}{x-2}+\frac{5}{x-3}\right)dx\\ & =-3\int \frac{1}{x-2}dx+5\int \frac{1}{x-3}dx\\ & =-3\ln |x-2|+5\ln |x-3|+C\end{array}$$

例 6 计算 $\int \frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx$

解：

1. 分解分母： $Q(x)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1{)}^2(x+1)$。
2. 设部分分式： (注意 $(x-1)$ 是二次重根)
   $$\frac{x-3}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$$
3. 确定常数： 通分： $x-3\equiv A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$。
   • 赋值法：
     令 $x=1$: $1-3=A(0)+B(1+1)+C(0)⟹-2=2B⟹B=-1$。
     令 $x=-1$: $-1-3=A(0)+B(0)+C(-1-1{)}^2⟹-4=4C⟹C=-1$。
     为了求 $A$，比较 $x^2$ 的系数：$0=A+C⟹A=-C=-(-1)=1$。
     所以 $A=1,B=-1,C=-1$。
4. 积分：
   $$\begin{array}{rl}\int \frac{x-3}{(x-1{)}^2(x+1)}dx& =\int \left(\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{(x-1{)}^2}+\frac{-1}{x+1}\right)dx\\ & =\int \frac{1}{x-1}dx-\int (x-1{)}^{-2}dx-\int \frac{1}{x+1}dx\\ & =\ln |x-1|-\frac{(x-1{)}^{-1}}{-1}-\ln |x+1|+C\\ & =\ln |x-1|+\frac{1}{x-1}-\ln |x+1|+C\end{array}$$

例 7 计算 $\int \frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x^2-x+1)}dx$

解：

1. 分解分母： $Q(x)=(x-1)(x^2-x+1)$。对于 $x^2-x+1$, 判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4(1)(1)=-3<0$，所以 $x^2-x+1$ 是不可约二次式。
2. 设部分分式：
   $$\frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$$
3. 确定常数： 通分： $x^2+2x-1\equiv A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-1)$。
   • 赋值法与比较系数结合：
     令 $x=1$: $1^2+2(1)-1=A(1^2-1+1)+0⟹2=A⟹A=2$。
     比较 $x^2$ 系数： $1=A+B⟹1=2+B⟹B=-1$。
     比较常数项： $-1=A(1)+C(-1)⟹-1=A-C⟹-1=2-C⟹C=3$。
     所以 $\frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{2}{x-1}+\frac{-x+3}{x^2-x+1}$。
4. 积分：
   $$\int \frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x^2-x+1)}dx=\int \frac{2}{x-1}dx+\int \frac{-x+3}{x^2-x+1}dx$$
   第一个积分： $\int \frac{2}{x-1}dx=2\ln |x-1|$。
   第二个积分 $\int \frac{-x+3}{x^2-x+1}dx$：
   分母的导数是 $(x^2-x+1{)}^{\prime }=2x-1$。将分子凑成 $(2x-1)$ 的倍数加上常数：
   $-x+3=-\frac{1}{2}(2x)+3=-\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{5}{2}$。
   $$\begin{array}{rl}\int \frac{-x+3}{x^2-x+1}dx& =\int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{5}{2}}{x^2-x+1}dx\\ & =-\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\frac{5}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}dx\\ & =-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}+\frac{5}{2}\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}dx\end{array}$$
   第一个子积分： $-\frac{1}{2}\ln |x^2-x+1|=-\frac{1}{2}\ln (x^2-x+1)$（因为 $x^2-x+1>0$）。
   第二个子积分（利用 $\int \frac{1}{u^2+a^2}du=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+C$，令 $u=x-\frac{1}{2}$, $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$）：
   $$\frac{5}{2}\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}d(x-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2}\arctan \left(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}\right)=\frac{5}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)$$
   合并结果：
   $$\int \frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x^2-x+1)}dx=2\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln (x^2-x+1)+\frac{5}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$$