【数据结构与算法】跳表实现详解

Ⅰ. 前言

​ skiplist 是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，实现简单，插入、删除、查找的复杂度均为 O(logN)（大多数情况下，因为是实现上是概率问题），因为其性能匹敌红黑树且实现较为简单，因此在很多著名项目都用 skiplist 来代替红黑树，例如 LevelDB、RocksDB、Redis 中的有序集合 zset 的底层存储结构就是用的 skiplist。

​ 目前常用的 key-value 数据结构有三种：哈希表、红黑树、skiplist，它们各自有着不同的优缺点：

• 哈希表：插入、查找最快，为 O(1)；如使用链表实现则可实现无锁；数据有序化需要显式的排序操作，即哈希表是无序的。

• 红黑树：插入、查找为 O(logn)，但常数项较小；无锁实现的复杂性很高，一般需要加锁；数据天然有序。

• skiplist：插入、查找为 O(logn)，但常数项比红黑树要大；底层结构为链表，可无锁实现；数据天然有序。

下面我们就着重来讲解一下 skiplist，以下是参考文案 （为了防止链接失效，大部分内容已经cv在文中，仅供参考！）：

Redis内部数据结构详解(6)——skiplist

浅析skiplist(跳表)

skiplist跳表–一种高性能数据结构

Ⅱ. 跳表（skiplist）

一、什么是跳表

​ skiplist 本质上也是一种查找结构，是一个“概率型”的数据结构，用于解决算法中的查找问题，即根据给定的 key，快速查到它所在的位置（或者对应的 value ）。

​ 跳表是在 1989 年由 William Pugh 发明的，作者时年 29 岁。skiplist 发明的 初衷是为了克服平衡树的一些缺点，比如平衡树在节点插入时，需要额外的进行的树的转枝，剪枝操作，才能够达到树的平衡。而 skiplist 借助于其独特的设计，在数据插入过程中，不需要额外的数据排序过程，只需要找到其需要插入位置的前置节点，即可插入，插入之后，依然保持数据结构的数据平衡。

​ 他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的：

​ Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees. Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

​ 翻译：跳表是一种可以用来代替平衡树的数据结构。跳表使用概率平衡而不是严格强制的平衡，因此，跳表中的插入和删除算法比平衡树的等效算法简单得多，速度也快得多。

二、跳表的发明历程

​ skiplist，顾名思义，首先它是一个 list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是 O(N)。所以 William Pugh 开始想出了下面的优化思路：

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图所示中的 b。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图中的c，这样搜索效率就进一步提高了。
3. skiplist 正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到 O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2:1 的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成 O(n)。

4. skiplist 的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：
   

​ 上图中插入 17 这个元素，其实就相当于是放了一堵墙，将 9 和 12 两个元素的指针挡住了，接到了 17 上面，这其实是不影响这些节点的，所以插入过程对其他节点是很稳定的！

​ ♻️ 其中最底层的链表，即包含了所有元素节点的链表是 L1 层，或称基础层，基础层包括所有的元素。除此以外的所有链表层都称为跳跃层。

三、跳表的搜索方式

​ 我们先来看一个有序链表，如下图（最左侧的灰色节点表示一个空的头结点）：

​ 在这样一个链表中，如果我们要查找某个数据，那么需要从头开始逐个进行比较，直到找到包含数据的那个节点，或者找到第一个比给定数据大的节点为止（没找到）。也就是说，时间复杂度为 O(n)。同样，当我们要插入新数据的时候，也要经历同样的查找过程，从而确定插入位置。

​ 假如我们每相邻两个节点增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图：

​ 这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半（上图中是7, 19, 26）。现在当我们想查找数据的时候，可以 先沿着这个新链表进行查找，当碰到比待查数据大的节点时，再回到原来的链表中进行查找（也就是向下走）。比如，我们想查找 23，查找的路径是沿着下图中标红的指针所指向的方向进行的：

• 23 首先和 7 比较，再和 19 比较，比它们都大，继续向右比较。
• 但 23 和 26 比较的时候，比 26 要小，因此要向下走，与 22 比较。
• 23 比 22 要大，继续向右和 26 比较。23 比 26 小，说明待查数据 23 在原链表中不存在，而且它的插入位置应该在 22 和 26 之间。

​ 后面若增加了高度，也是一样的遍历方法！

Ⅲ. skiplist的算法性能分析

一、理论准备

​ 如果是第一次接触 skiplist，那么一定会产生一个疑问：节点插入时随机出一个层数，仅仅依靠这样一个简单的随机数操作而构建出来的多层链表结构，能保证它有一个良好的查找性能吗？为了回答这个疑问，我们需要分析 skiplist 的统计性能！

​ 在分析之前，我们还需要着重指出的是，执行插入操作时计算随机数的过程，是一个很关键的过程，它对 skiplist 的统计特性有着很重要的影响。这并不是一个普通的服从均匀分布的随机数，它的计算过程如下：

• 首先，每个节点肯定都有第一层指针。
• 如果一个节点有第 i 层 (i>=1) 指针（即节点已经在第 1 层到第 i 层链表中），那么它有第 i + 1 层指针的概率为 p。
• 节点最大的层数不允许超过一个最大值，记为 MaxLevel。

这个计算随机层数的伪代码如下所示：

​ randomLevel() 的伪代码中包含两个参数，一个是 p，一个是 MaxLevel。在 Redis 的 skiplist 实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4
MaxLevel = 32

二、性能分析（了解即可，主要记结论）

​ 根据前面 randomLevel() 的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率是越低的。定量的分析如下：

​ 因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

现在很容易计算出：

• 当 p=1/2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2；
• 当 p=1/4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。这也是 Redis 里的 skiplist 实现在空间上的开销。

也可以看出了，我们 取的概率越小，那么产生越高节点的层数的几率就越小！可能有点抽象，画个图帮助理解一下：

​ 接下来，为了分析时间复杂度，我们计算一下 skiplist 的平均查找长度。查找长度指的是查找路径上跨越的跳数，而查找过程中的比较次数就等于查找长度加 1。以前面图中标出的查找 23 的查找路径为例，从左上角的头结点开始，一直到结点 22，查找长度为 6。

​ 我们注意到，每个节点插入的时候，它的层数是由随机函数 randomLevel() 计算出来的，而且随机的计算不依赖于其它节点，每次插入过程都是完全独立的。所以，从统计上来说，一个 skiplist 结构的形成与节点的插入顺序无关。

​ 这样的话，为了计算查找长度，我们可以将查找过程倒过来看，从右下方第 1 层上最后到达的那个节点开始，沿着查找路径向左向上回溯，类似于爬楼梯的过程。我们假设当回溯到某个节点的时候，它才被插入，这虽然相当于改变了节点的插入顺序，但从统计上不影响整个 skiplist 的形成结构。

​ 现在假设我们从一个 层数i 的 节点x 出发，需要向左向上攀爬 k层。这时我们有两种可能：

• 如果节点 x 有第 i+1 层指针，那么我们需要向上走。这种情况概率为 p。
• 如果节点 x 没有第 i+1 层指针，那么我们需要向左走。这种情况概率为 1-p。

这两种情形如下图所示：

​ 用 C(k) 表示向上攀爬 k 个层级所需要走过的平均查找路径长度（概率期望），那么：

​ 代入，得到一个差分方程并化简：

​ 这个结果的意思是，我们每爬升 1 个层级，需要在查找路径上走 1/p 步。而我们总共需要攀爬的层级数等于整个 skiplist的总层数 - 1。

​ 那么接下来我们需要分析一下当 skiplist 中有 n 个节点的时候，它的总层数的概率均值是多少。这个问题直观上比较好理解。根据节点的层数随机算法，容易得出：

​ 所以，从第 1 层到最高层，各层链表的平均节点数是一个指数递减的等比数列。容易推算出，总层数的均值为 $lo{g}_{1/p}n$，而最高层的平均节点数为 1/p。

综上，粗略来计算的话，平均查找长度约等于：

• C($lo{g}_{1/p}$