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二进制、高位低位、位移操作与进制转换全解

backend 2025/5/6 21:47:06

二进制、高位低位、位移操作与进制转换全解

在计算机科学中，理解高位与低位、左移与右移、进制转换与位运算非常重要。这篇文章用清晰直观的方式梳理这些基本概念。

高位与低位

低位：二进制中靠右的位，权值较小（例如 (2^0, 2^1)）。
高位：二进制中靠左的位，权值较大（例如 (2^7, 2^8)）。

示例：在 1101 中，最左边的 1 是高位，对应 (2^3)，最右边的 1 是低位，对应 (2^0)。

左移 (`<<`) 与右移 (`>>`)

操作	效果	补位
左移 `<<`	所有位向左移动，低位补0	数值×2
右移 `>>`	所有位向右移动，高位补符号位	数值/2（正数）

小例子：

0011 << 1 = 0110 （3 左移变 6）
1100 >> 1 = 0110 （12 右移变 6）

二进制与八进制的关系

三位二进制正好可以对应一个八进制数字，因为 (2^3=8)。

三位二进制	八进制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

二进制转八进制步骤

从右向左每三位分一组（不足补0）。
每组转为一个八进制数字。

例：1101011

分组：001 101 011
转换：1 5 3
结果：153

八进制转二进制步骤

每个八进制数字转成对应的三位二进制数。

例：153

1 -> 001
5 -> 101
3 -> 011
结果：1101011

十进制与二、八进制转换

十进制转二进制

除2取余，倒序排列。

例：13 → 1101

二进制转十进制

每个位×2的对应幂次，结果相加。

例：1101 → 13

十进制转八进制

除8取余，倒序排列。

例：83 → 123

八进制转十进制

每个位×8的对应幂次，结果相加。

例：123 → 83

位运算速查

运算符	名称	规则	示例
`&`	位与	都为1结果才为1	`1010 & 1100 = 1000`
`	`	位或	有1结果为1
`^`	位异或	不同为1，相同为0	`1010 ^ 1100 = 0110`
`~`	位非	取反	`~1010 = 0101`
`<<`	左移	乘以2	`0011 << 1 = 0110`
`>>`	右移	除以2（正数）	`1100 >> 1 = 0110`

补码表示和符号扩展

补码表示

正数：最高位是0，直接按原码存储。
负数：最高位是1，用补码存储：原码取反加一。

例：

+5（8位）= 00000101
-5（8位）= 11111011

符号扩展

当把较小的数据类型扩展到较大的类型时：

无符号数：高位补0。
有符号数：根据最高位补0或1，保持正负性不变。

例：

8位 -5 (11111011) 扩展为 16位 -5 (11111111 11111011)

大端序与小端序

大端序（Big-Endian）

高位字节排在前面，低位字节排在后面。
常见于网络协议。

小端序（Little-Endian）

低位字节排在前面，高位字节排在后面。
常见于x86架构计算机。

例：32位整数 0x12345678

大端：12 34 56 78
小端：78 56 34 12

高效位操作技巧

快速乘除2

n << 1 等同于 n × 2
n >> 1 等同于 n ÷ 2（正数）

判断奇偶性

n & 1：
- 结果是1，奇数；
- 结果是0，偶数。

取绝对值（有符号数）

一种位操作绝对值写法：

int abs(int n) {int mask = n >> 31;return (n + mask) ^ mask;
}

解释：

n >> 31：得到全0（正）或全1（负）。
正数不变，负数反码加一，即取绝对值。

位图和位集合优化技巧

使用一位(bit)来表示一个元素的存在与否，大大节省内存。
比如要表示100万个元素是否出现，只需要约125KB内存，而不是100万个bool变量。
常用操作：
- 置位：bitmap[index/8] |= (1 << (index%8))
- 清位：bitmap[index/8] &= ~(1 << (index%8))
- 查询：bitmap[index/8] & (1 << (index%8))

应用场景：去重、布隆过滤器、集合运算优化。